Analyse Pédagogique du Sujet 2023
L'exercice 1 du sujet de Mathématiques STI2D de la session 2023 (Métropole) se présente sous la forme de questions indépendantes. Ce format, typique des épreuves de spécialité, permet d'évaluer la fluidité des élèves sur les fondamentaux du programme sans qu'une erreur initiale ne pénalise l'ensemble de l'exercice. Il balaie quatre piliers majeurs : le calcul algébrique avec les exponentielles, la dérivation de fonctions produits, la géométrie des nombres complexes et la résolution d'équations logarithmiques.
Compétences Techniques et Calculatoires
La Question 1 teste la maîtrise des propriétés de l'exponentielle : $ (e^a)^b = e^{ab} $ et $ e^a \times e^b = e^{a+b} $. L'élève doit simplifier l'expression pour trouver $e^{-23x}$. C'est un test de rapidité qui demande une grande vigilance sur les signes.
La Question 2 porte sur la dérivation. Ici, la fonction $f$ est de la forme $u \times v$ avec $u(x) = e^{2x}$ et $v(x) = -3x + 1$. La difficulté réside dans la dérivation de la fonction composée $e^{2x}$ dont la dérivée est $2e^{2x}$. Une fois la formule $(uv)' = u'v + uv'$ appliquée, une factorisation par $e^{2x}$ est indispensable pour retrouver la forme demandée.
La Question 3 aborde les nombres complexes. Le passage de la forme algébrique $a + bi$ à la forme exponentielle $re^{i\theta}$ nécessite de calculer d'abord le module $r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$, puis d'identifier l'argument $\theta$ via le cosinus et le sinus. Ici, $\sqrt{3} + i = 2(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = 2e^{i\frac{\pi}{6}}$.
Enfin, la Question 4 demande d'isoler le terme en $\ln(x)$ pour résoudre l'équation. L'élève doit mobiliser la fonction réciproque de l'exponentielle pour 'annuler' le logarithme, tout en respectant l'ensemble de définition du domaine de validité.
Conseils de Réussite pour la STI2D
- Rigueur sur les dérivées : Ne confondez pas la dérivée de $e^u$ ($u'e^u$) avec celle de $x^n$.
- Cercle Trigonométrique : Apprenez les valeurs remarquables par cœur pour gagner du temps sur les complexes.
- Vérification : Pour les équations log, vérifiez toujours que votre solution appartient à l'intervalle donné ($]0; +\infty[$).