Analyse de l'exercice : Logarithmes et Acoustique en STI2D

Cet exercice, issu de l'épreuve de Physique-Chimie et Mathématiques (PCM) du Bac STI2D 2024 en Métropole, illustre parfaitement la transversalité du programme. Il place l'élève dans une situation réelle : l'ingénierie sonore lors d'un concert à Venise. L'objectif est de modéliser l'atténuation sonore en fonction de la distance à l'aide de fonctions logarithmes népériens.

Les compétences mathématiques mobilisées

La première partie de l'étude porte sur la dérivation. Pour la fonction \(f(x) = 125 - 10 \ln(x)\), l'élève doit appliquer la règle de dérivation de \(\ln(x)\), qui est \(1/x\). Ainsi, on obtient \(f'(x) = -10/x\). Sur l'intervalle \([1 ; +\infty[\), cette dérivée est strictement négative, ce qui confirme mathématiquement que le niveau sonore diminue à mesure que l'on s'éloigne de la source (atténuation).

Résolution d'équations logarithmiques

La question cruciale du sujet porte sur la recherche de la distance idéale \(d_m\) pour une qualité sonore homogène. Pour résoudre \(148 - 10 \ln(x) = 136 - 7,5 \ln(x)\), il faut isoler les termes en \(\ln(x)\) :

• Isoler les constantes : \(148 - 136 = 10 \ln(x) - 7,5 \ln(x)\)
• Simplifier : \(12 = 2,5 \ln(x)\)
• Extraire \(\ln(x)\) : \(\ln(x) = 12 / 2,5 = 4,8\)
• Appliquer l'exponentielle : \(x = e^{4,8}\)

Le calcul donne environ \(121,5\) mètres. Ce résultat est cohérent avec l'énoncé qui mentionnait une scène à 120m des spectateurs.

Interprétation physique du modèle

Le calcul final du niveau sonore (100 dB à 121,5m) permet de vérifier si les réglages respectent les normes de sécurité auditive. Ce type d'exercice prépare directement les futurs techniciens et ingénieurs à manipuler des échelles non linéaires (le décibel étant une échelle logarithmique), une compétence fondamentale en génie civil et en acoustique environnementale.