Analyse de l'exercice : Logarithmes et Acoustique en STI2D
Cet exercice, issu de l'épreuve de Physique-Chimie et Mathématiques (PCM) du Bac STI2D 2024 en Métropole, illustre parfaitement la transversalité du programme. Il place l'élève dans une situation réelle : l'ingénierie sonore lors d'un concert à Venise. L'objectif est de modéliser l'atténuation sonore en fonction de la distance à l'aide de fonctions logarithmes népériens.
Les compétences mathématiques mobilisées
La première partie de l'étude porte sur la dérivation. Pour la fonction $f(x) = 125 - 10 \ln(x)$, l'élève doit appliquer la règle de dérivation de $\ln(x)$, qui est $1/x$. Ainsi, on obtient $f'(x) = -10/x$. Sur l'intervalle $[1 ; +\infty[$, cette dérivée est strictement négative, ce qui confirme mathématiquement que le niveau sonore diminue à mesure que l'on s'éloigne de la source (atténuation).
Résolution d'équations logarithmiques
La question cruciale du sujet porte sur la recherche de la distance idéale $d_m$ pour une qualité sonore homogène. Pour résoudre $148 - 10 \ln(x) = 136 - 7,5 \ln(x)$, il faut isoler les termes en $\ln(x)$ :
- Isoler les constantes : $148 - 136 = 10 \ln(x) - 7,5 \ln(x)$
- Simplifier : $12 = 2,5 \ln(x)$
- Extraire $\ln(x)$ : $\ln(x) = 12 / 2,5 = 4,8$
- Appliquer l'exponentielle : $x = e^{4,8}$
Le calcul donne environ $121,5$ mètres. Ce résultat est cohérent avec l'énoncé qui mentionnait une scène à 120m des spectateurs.
Interprétation physique du modèle
Le calcul final du niveau sonore (100 dB à 121,5m) permet de vérifier si les réglages respectent les normes de sécurité auditive. Ce type d'exercice prépare directement les futurs techniciens et ingénieurs à manipuler des échelles non linéaires (le décibel étant une échelle logarithmique), une compétence fondamentale en génie civil et en acoustique environnementale.