Slam dunk au golf : un radar et une parabole

Le deuxième exercice du bac 2025 de physique-chimie en Asie (jour 2) compte 6 points, soit environ 1 h 03. Une joueuse de golf veut réussir un slam dunk : la balle doit tomber directement dans le trou, sans rouler. L'exercice commence par la mesure de la vitesse de la balle à l'aide d'un radar, puis déroule l'étude classique du mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, jusqu'à la vérification du tir.

Effet Doppler et vitesse initiale (questions 1 et 2)

Le radar émet une onde que la balle en mouvement réfléchit : la fréquence reçue diffère de la fréquence émise. Ce décalage est l'effet Doppler. La question 2 isole la vitesse dans la relation du document, |Δf| = 2 v f_E / c. Avec |Δf| = 4 225 Hz et f_E = 21,125 GHz, on trouve v₀ = 30,0 m·s^-1. Deux pièges guettent : laisser f_E en gigahertz, ce qui rend le résultat 10⁹ fois trop grand, et oublier le facteur 2, qui double la vitesse. La calculatrice affiche 30 : on écrit 30,0 pour garder trois chiffres significatifs.

Accélération et équations horaires (questions 3 et 4)

La question 3 attend la démarche complète : système {balle}, référentiel terrestre supposé galiléen, bilan des forces réduit au poids, puis deuxième loi de Newton. La masse se simplifie et l'on obtient a = g, soit a_x = 0 et a_y = -g puisque l'axe vertical est orienté vers le haut. Écrire a_y = g est l'erreur la plus courante.

La question 4 enchaîne deux primitives successives : de l'accélération à la vitesse, puis de la vitesse à la position. Chaque constante se fixe par une condition initiale. La balle part de la hauteur h au-dessus du sol, et non de l'origine : poser y(0) = 0 fait perdre le terme h. Attention aussi à ne pas inverser cos α et sin α, l'angle étant mesuré à partir de l'axe horizontal.

Trajectoire et vérification du tir (questions 5 à 7)

Pour obtenir l'équation de la trajectoire, on exprime t à partir de x(t) et on le remplace dans y(t) ; v₀ se simplifie dans le deuxième terme et le rapport sin α / cos α devient tan α. La trajectoire est une portion de parabole tournée vers le bas. La question 6 en tire une conséquence : la joueuse ne choisit ni g ni h, elle ne peut agir que sur la vitesse initiale et sur l'angle de tir.

La question 7 vérifie le tir avec α = 39° et v₀ = 30 m·s^-1, le trou étant à 1,5 × 10² m. Le slam dunk est réussi si y(d) = 0. Le calcul donne y(d) = -82 m : la balle a touché le sol bien avant le trou, vers 90 m, et le tir est manqué. Le piège principal est la calculatrice restée en radians, qui donne des valeurs fausses sans aucun message d'erreur. Il faut aussi convertir h = 3,0 cm en mètres.

Conseils

Rédigez toujours les quatre étapes de la deuxième loi de Newton, même quand la réponse semble évidente. Lisez le sens des axes sur la figure avant de projeter, et vérifiez le mode degré avant tout calcul trigonométrique. Enfin, concluez par une phrase qui répond à la question posée : réussi ou non, et pourquoi.