Saut à l'élastique : un exercice de mécanique très complet

Cet exercice de 5 points, prévu pour environ 55 minutes, étudie un sauteur qui s'élance vers le bas avec une petite vitesse initiale. La première phase, avant que l'élastique ne se tende, est modélisée par une chute libre. L'exercice passe ensuite à une lecture énergétique de tout le saut. Il s'agit d'un sujet de mécanique classique, mais où les questions de signe font perdre beaucoup de points.

Questions 1 et 2 : de la deuxième loi de Newton à l'équation horaire

La démarche attendue suit toujours le même ordre : système, référentiel terrestre supposé galiléen, bilan des forces, deuxième loi de Newton, projection. Avec le poids seul, on obtient que l'accélération est égale à g. L'axe Oz étant orienté vers le haut, la coordonnée verticale vaut a_z = -g. Écrire +g est l'erreur la plus fréquente.

Pour établir z(t), on intègre deux fois en déterminant chaque constante par les conditions initiales. La vitesse initiale est dirigée vers le bas, donc v_z(0) = -v₀, et l'altitude initiale vaut H. On retrouve l'expression donnée, z(t) = -g t²/2 - v₀ t + H.

Question 3 : confronter le modèle aux mesures

La modélisation fournie, z(t) = -4,90 t² - 1,10 t + 49,8, s'exploite par identification des coefficients. Le terme en t² redonne g = 9,80 m·s^-2, très proche de 9,81 ; le terme constant donne H = 49,8 m, cohérent avec la hauteur annoncée d'environ 50 m. Deux arguments sont demandés : il faut bien les présenter séparément.

Questions 4 et 5 : l'instant où l'élastique se tend

L'élastique, de longueur à vide 8,0 m, commence à se tendre quand le sauteur est à l'altitude H - L₀, et non à z = L₀. On résout une équation du second degré et on garde la seule racine positive, environ 1,17 s. En dérivant z(t), on obtient une vitesse d'environ 13 m/s, soit près de 45 km/h. La question porte sur la valeur de la vitesse : on donne donc une norme positive, même si v_z est négative.

Question 6 : la lecture énergétique

Pour identifier les courbes, on calcule les valeurs initiales : l'énergie cinétique de départ ne vaut que 48 J, presque nulle à l'échelle du graphique, alors que l'énergie potentielle de pesanteur vaut environ 3,9 × 10⁴ J. La courbe de l'énergie mécanique reste quasiment constante pendant la chute libre, ce qui la distingue de celle de l'énergie potentielle, qui diminue nettement.

Pour les phases suivantes, il manque une information sur l'élastique : sa raideur, nécessaire pour calculer l'énergie potentielle élastique. Enfin, le minimum de l'énergie potentielle, lu vers 22 500 J, donne l'altitude la plus basse, environ 28,7 m, donc une distance parcourue d'environ 21 m. L'étirement de l'élastique se calcule en retranchant sa longueur à vide : environ 13 m, bien inférieur à la limite de 32 m.

Conseils

Dessinez l'axe et le sens du mouvement avant tout calcul, conservez les valeurs non arrondies jusqu'au résultat final et relisez chaque conclusion au regard de la situation physique. Le corrigé détaille chaque étape et chaque lecture graphique.