Datation d'une roche : un exercice de radioactivité sur 6 points

Le deuxième exercice du bac 2025 de physique-chimie en Métropole (jour 1) vaut 6 points et se traite en un peu plus d'une heure. Il s'agit de dater une roche du site de Meymac grâce au couple rubidium 87 et strontium 87. Les 12 questions suivent une progression très classique : définitions de cours, équation d'une désintégration, raisonnement sur les demi-vies, loi de décroissance exponentielle, puis exploitation d'une droite de modélisation pour obtenir l'âge de la roche.

Isotopes et désintégration (Q1 à Q4)

Des noyaux isotopes ont le même nombre de protons mais des nombres de neutrons différents. Sur le diagramme (N,Z), la flèche relie le rubidium 87 (Z = 37) au strontium 87 (Z = 38) : le nombre de masse est conservé et la charge impose l'émission d'un électron. L'équation est donc celle d'une désintégration β^-. Le piège est la confusion avec β⁺, qui ferait diminuer Z. La définition du temps de demi-vie termine ce bloc de cours : c'est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs initialement présents s'est désintégrée.

Combien de demi-vies avant que la datation devienne impossible (Q5 et Q6)

Après n demi-vies, le nombre de noyaux est divisé par 2ⁿ. La datation reste possible tant qu'il reste au moins N_min = 2,0 × 10⁹ noyaux. L'encadrement fourni par l'énoncé conduit à n = 38 au maximum. Répondre 39 est l'erreur typique : après 39 demi-vies, il ne reste plus assez de rubidium. Avec une demi-vie de 49,2 milliards d'années, la durée maximale de datation vaut 1,9 × 10¹² ans, très supérieure à l'âge du site, de quelques centaines de millions d'années.

La loi de décroissance (Q7 à Q9)

Pour vérifier que N_Rb(t) = N_Rb(0)e^-λt est solution de l'équation différentielle, on ne résout rien : on dérive l'expression proposée et on reconnaît le second membre. L'expression de t_f s'obtient en passant au logarithme ; attention au signe, car le logarithme d'un rapport inférieur à 1 est négatif, et une date négative doit alerter. L'application numérique avec λ = 1,41 × 10^-11 a^-1 redonne 1,9 × 10¹² ans, en accord avec la méthode des demi-vies. Inutile de convertir λ en s^-1 : il est en a^-1, le résultat sort directement en années.

Le principe de la datation rubidium-strontium (Q10 à Q12)

Chaque noyau de rubidium qui se désintègre donne un noyau de strontium : le nombre de noyaux de strontium formés est la différence entre le nombre initial et le nombre restant de rubidium. En éliminant N_Rb(0), inconnu des géologues, on obtient l'équation 2. La dernière question est la plus rentable : le coefficient directeur de la droite modèle, 0,0042, vaut e^λt - 1. On en déduit un âge de 3,0 × 10⁸ ans, environ 300 millions d'années. Le piège consiste à utiliser l'ordonnée à l'origine, qui correspond au strontium présent dès la formation de la roche.

Conseils

Cet exercice est accessible si le cours de radioactivité est su. Soignez les chiffres significatifs : un coefficient directeur connu avec deux chiffres ne permet pas d'annoncer un âge avec trois. Et relisez chaque résultat à la lumière de l'énoncé, qui parle de plusieurs centaines de millions d'années.