Le rugby, terrain de jeu de la mécanique

Ce deuxième exercice du bac S 2013 au Liban est le plus lourd de l'épreuve : 8 points, soit environ 1 h 20. Il comporte deux situations de jeu. La première, un plaquage, se traite par la conservation de la quantité de mouvement. La seconde, une chandelle, est un exercice très classique de mouvement dans un champ de pesanteur uniforme, depuis la deuxième loi de Newton jusqu'à l'exploitation des graphes.

Partie 1 : le plaquage

Les vitesses des joueurs sont mesurées par rapport au sol : c'est le référentiel terrestre. Le système {joueur A + joueur B} est supposé isolé, donc sa quantité de mouvement se conserve entre juste avant et juste après l'impact. Comme B est quasiment immobile, m_Av_A = (m_A + m_B)v, ce qui donne v = 115 × 5,0 / 225 = 2,6 m·s^-1. L'erreur fréquente consiste à diviser par la seule masse de B, alors que les deux joueurs avancent ensemble après le choc. Cette notion ne figure plus au programme actuel de spécialité, mais le raisonnement reste juste.

Partie 2 : la chandelle

La méthode attendue suit toujours le même ordre : système, référentiel galiléen, bilan des forces, deuxième loi de Newton, projection. L'air étant négligé, le ballon ne subit que son poids, donc a = g, avec a_x = 0 et a_y = −g puisque l'axe Oy est orienté vers le haut. Le signe moins est le premier piège de l'exercice.

Les équations horaires s'obtiennent par deux primitives successives. Ce qui rapporte les points, c'est la détermination des constantes d'intégration à partir des conditions initiales : composantes v₀cos α et v₀sin α de la vitesse, ballon en O à t = 0. L'équation de la trajectoire se déduit en éliminant le temps : on isole t dans x(t) et on le reporte dans y(t), ce qui fait apparaître tan α.

L'association des courbes de l'annexe repose sur leur forme. La droite horizontale correspond à v_x, constante ; la droite passant par l'origine à x, proportionnelle au temps ; la droite décroissante à v_y, de coefficient directeur −g ; la parabole tournée vers le bas à y. Une valeur lue, comme 5 m·s^-1 = 10,0 × cos 60°, confirme chaque choix.

Durée du vol et vitesse du joueur

Le ballon retombe quand y(t) = 0 : la solution non nulle donne t_s = 2v₀sin α / g = 1,77 s, valeur que l'on retrouve sur le graphe y(t). Une calculatrice réglée en radians produirait ici un résultat absurde. Pour que la chandelle soit réussie, le joueur doit se trouver sous le ballon à sa retombée. Première méthode : sa vitesse égale la composante horizontale du ballon, v₁ = v₀cos α = 5,00 m·s^-1. Seconde méthode : il parcourt la même distance horizontale, 8,83 m, pendant la même durée, ce qui redonne 5,00 m·s^-1.

Conseils pour réussir

Soignez la rédaction de la deuxième loi de Newton, qui structure toute la partie 2, et vérifiez vos signes sur un schéma des axes. Dans les calculs enchaînés, conservez la valeur non arrondie de t_s et n'arrondissez qu'à la fin. Enfin, ne confondez pas la vitesse initiale du ballon avec celle du joueur : seule la composante horizontale compte.