Vol en montgolfière : un exercice de 11 points entre mécanique et thermodynamique

Le premier exercice du bac 2024 de physique-chimie (Métropole, septembre, jour 2) pèse 11 points sur 20 : plus de la moitié de la note. Il suit une montgolfière du décollage jusqu'au refroidissement d'une gourde emportée à bord. Les 14 questions mobilisent l'équation d'état du gaz parfait, la poussée d'Archimède, la deuxième loi de Newton, les flux thermiques et le premier principe de la thermodynamique.

Masse de l'air chaud et condition de décollage (Q1 à Q5)

La première question calcule la masse molaire de l'air à partir de sa composition, 80 % de diazote et 20 % de dioxygène. Le piège est d'oublier que ces molécules sont diatomiques : on trouverait alors la moitié de la valeur attendue au lieu de 28,8 × 10^-3 kg/mol. L'équation d'état pV = nRT, avec n = m/M, donne ensuite la masse d'air intérieur : à pression et volume fixés, chauffer l'air fait sortir une partie de cet air de l'enveloppe.

La poussée d'Archimède vaut ρ_extVg, soit 2,9 × 10⁴ N. La question 5 est la plus exigeante : écrire que la poussée l'emporte sur le poids, isoler la température, puis calculer T_min ≈ 349 K, environ 76 °C. Il faut garder la valeur non arrondie de la poussée, car la soustraction π_A/g - m_ens amplifie l'arrondi : avec 2,9 × 10⁴ N, on obtient 355 K.

Ascension et regard critique sur le modèle (Q6 et Q7)

La deuxième loi de Newton, projetée sur un axe vertical ascendant, donne une accélération d'environ 0,5 m/s². Comme elle est la différence de deux valeurs proches, un seul chiffre significatif est fiable. La vitesse croît alors linéairement : 5 m/s après 10 s et environ 30 m/s après une minute, soit plus de 100 km/h. La question 7 attend un commentaire argumenté : ces vitesses sont irréalistes, et la piste d'amélioration consiste à ajouter la force de frottement de l'air, qui conduit à une vitesse limite.

Enveloppe simple ou double couche (Q8 à Q10)

Le flux thermique va spontanément du plus chaud vers le plus froid, donc de l'air intérieur vers l'extérieur. Avec la résistance thermique, φ₁ = (θ_int - θ_ext)/R_th ≈ 2,8 × 10² kW ; un écart de température a la même valeur en kelvins et en degrés Celsius. Pour commenter le flux de 165 kW de la double paroi, on calcule un rapport, environ 0,58, puis on relie cette baisse des pertes à l'économie de carburant.

Refroidissement d'une gourde (Q11 à Q14)

Le premier principe appliqué au système incompressible {gourde + boisson}, avec ΔU = CΔθ et Q = φΔt, conduit à la relation demandée. Les constantes de la solution s'obtiennent par le comportement aux temps longs (B = θ_ext = 21 °C) puis par la condition initiale (A = 27 °C) ; écrire A = θ₀ est l'erreur classique. Le temps caractéristique se lit dans la modélisation, τ ≈ 5,10 × 10³ s, et donne h ≈ 9,8 W·K^-1·m^-2, valeur cohérente avec un échange sans courant d'air.

Conseils

Rédigez toujours le système, le référentiel et le bilan des forces avant de projeter. Conservez les valeurs intermédiaires non arrondies et soignez les chiffres significatifs. Pour chaque « commenter », appuyez-vous sur un calcul de rapport et sur le contexte du sujet.