Une brosse à dents sous le laser : diffraction et son

Le deuxième exercice du bac 2024 de Polynésie (session de septembre), noté sur 6 points, prend pour objet un accessoire du quotidien : la brosse à dents. Dans une première partie, la diffraction d'un faisceau laser par un fil permet de mesurer le diamètre d'un brin ultrasouple et de discuter la qualité de cette mesure. Dans une seconde partie, on étudie le bruit d'une brosse à dents électrique dans une petite salle de douche. Sept questions seulement, mais chacune demande de la rigueur dans les unités et les puissances de dix.

Les passages clés, question par question

Q1 et Q2 : la loi de la diffraction par un fil

Dans le triangle rectangle formé par l'axe du faisceau et le bord de la tache centrale, le côté opposé à θ mesure L/2 et le côté adjacent D. Avec tan θ ≈ θ et θ = λ/a, on obtient L = 2λD/a, donc k = 2λD. La largeur de la tache est inversement proportionnelle au diamètre du fil : la tache la plus large, celle de l'expérience A (1,32 cm), correspond au fil le plus fin, de 150 µm, et l'expérience B (0,65 cm) au fil de 300 µm. Le rapport des largeurs, proche de 2, confirme la loi.

Q3 à Q5 : le diamètre du brin et son incertitude

Avec k = 1,96 × 10^-6 m² et L = 1,89 cm, convertie en mètres, on trouve a = k/L = 1,04 × 10^-4 m, soit 104 µm. L'incertitude-type se calcule avec la formule fournie, en prenant soin d'exprimer u(L) et L dans la même unité : le résultat, 5,7 × 10^-6 m, s'arrondit par excès à 6 µm. C'est le terme lié à la mesure de la tache qui domine. Le quotient |104 - 100|/6 vaut environ 0,7, inférieur à 2 : la mesure est en accord avec la valeur de référence de 100 µm.

Q6 et Q7 : la brosse électrique dans la salle de douche

À 10 cm, le niveau d'intensité sonore vaut 65 dB. En inversant la relation L = 10 log(I/I₀), on obtient I₁ = I₀ × 10^L/10 = 3,2 × 10^-6 W·m^-2. Pour ne pas être incommodé, il faut une atténuation de 25 dB, donc un niveau de 40 dB, soit une intensité de 1,0 × 10^-8 W·m^-2. Avec I = P/(4πd²) et P = 4,0 × 10^-7 W, la distance nécessaire vaut 1,8 m. La lecture du plan montre que le point le plus éloigné de la croix, au fond de la douche, n'est qu'à environ 1,79 m : la personne reste incommodée où qu'elle se place dans la pièce.

Les pièges à éviter

Oublier le facteur 2 en écrivant tan θ = L/D est l'erreur la plus classique de la première question. Côté son, les décibels se retranchent : on calcule 65 - 25 = 40 dB, puis on revient à l'intensité, au lieu de diviser une intensité par 25. Enfin, une longueur laissée en centimètres face à une constante en m² fausse le diamètre d'un facteur cent.

Nos conseils

Faites un schéma pour chaque relation géométrique et vérifiez les unités avant tout calcul. Retenez la forme inversée I = I₀ × 10^L/10 et l'atténuation géométrique en 1/d² : ces deux outils reviennent régulièrement dans les sujets sur le son. Pour la dernière question, concluez à la précision de votre lecture du plan.