Le défibrillateur cardiaque : un exercice sur le circuit RC sur 5 points

L'exercice 4 du bac 2022 de physique-chimie en Métropole (jour 1), noté exercice C dans le sujet officiel, fait partie des exercices au choix. Il vaut 5 points, soit une cinquantaine de minutes. Il modélise un défibrillateur par un circuit RC : un condensateur se charge à travers un conducteur ohmique, puis se décharge brusquement dans le corps du patient. C'est un exercice d'électricité très guidé, qui reprend toutes les compétences du chapitre sur les circuits RC.

La charge du condensateur (Q1 à Q5)

Pour charger le condensateur, l'interrupteur est en position 1, qui le relie au générateur. L'équation différentielle s'établit en trois étapes : loi des mailles E = u_r + u_C, loi d'Ohm u_r = r i, puis i = C du_C/dt. On obtient r C du_C/dt + u_C = E. L'équation figure dans l'énoncé : seule la démonstration complète rapporte des points. En Q3, on vérifie la solution u_C = E(1 − e^−t/τ) : en dérivant puis en remplaçant, l'égalité est vraie à chaque instant si τ_charge = r C, exprimée en secondes. L'allure attendue en Q4 part de 0 V et se rapproche de E sans jamais la dépasser. En Q5, 1 − e⁻⁵ ≈ 0,993 : au bout de 5τ, la charge atteint 99 % de sa valeur finale, quel que soit le circuit.

La décharge et sa lecture graphique (Q6 et Q7)

Sur la courbe de l'annexe, la tension reste sur un palier voisin de 6,1 V, puis commence à décroître : le basculement a lieu vers t₂ ≈ 0,024 s. Pour le temps caractéristique de décharge, on cherche la date où la tension vaut 37 % de sa valeur initiale, soit 2,3 V, atteinte à 0,040 s. Le piège principal : la décharge ne commence pas à t = 0. Il faut retrancher t₂, ce qui donne τ_graph ≈ 0,016 s. La valeur théorique R C = 10 kΩ × 1,5 µF = 15 ms est cohérente avec cette lecture, compte tenu de l'espacement des points. La méthode de la tangente à l'origine de la décharge est aussi acceptée.

Le défibrillateur commercial (Q8)

Avec C = 170 µF et une résistance du corps comprise entre 50 Ω et 150 Ω, la décharge est considérée comme totale au bout de 5 R C : entre 0,043 s et 0,13 s. Cette durée est très inférieure aux 4 s annoncées par la notice. La conversion des microfarads en farads est indispensable : sans elle, le résultat serait un million de fois trop grand.

Ce qu'il faut retenir

Un exercice sur le circuit RC suit presque toujours le même schéma : établir l'équation différentielle, vérifier une solution, identifier τ = R C, puis l'exploiter graphiquement avec le critère des 37 % ou des 63 %, et celui des 5τ pour un régime terminé. Soignez la dérivée de l'exponentielle, source fréquente d'erreurs de signe, et indiquez toujours l'origine des temps choisie pour une lecture. Le corrigé détaillé reprend chaque question avec l'annexe complétée et les pièges à éviter.