Les supercondensateurs : un circuit RC classique avec une capacité hors norme
L'exercice 2 du sujet 1 des centres étrangers 2021 est l'un des trois exercices de 5 points proposés au choix, à traiter en 55 minutes environ. Il porte sur un supercondensateur de 400 F annoncés par le constructeur. Derrière ce composant original se cache un exercice très classique de circuit RC : équation différentielle, solution exponentielle, constante de temps. La seconde moitié est consacrée aux incertitudes, un savoir-faire régulièrement évalué au bac.
Une capacité exceptionnelle
Les condensateurs usuels vont du picofarad au millifarad. Même face au plus gros d'entre eux, le supercondensateur a une capacité au moins plusieurs centaines de milliers de fois plus grande, ce qui justifie le préfixe « super ». La relation C = εS/d permet ensuite de justifier qualitativement le texte : la capacité augmente avec la surface des armatures et quand leur écartement diminue, d'où des armatures « de très grandes surfaces » et « très rapprochées ». Aucun calcul n'est attendu, seulement le sens de variation.
L'équation différentielle et sa solution
Les relations i = dq/dt et q = C·uC donnent i = C·duC/dt, en convention récepteur. La loi des mailles, E = uR + uC, puis la loi d'Ohm conduisent à RC·duC/dt + uC = E. En divisant par RC, on identifie τ = RC. Pour la solution, le verbe « vérifier » est important : on dérive la fonction proposée, on la remplace dans l'équation et on constate l'égalité. La constante A vient ensuite de la condition initiale : le condensateur est déchargé, donc A = −E et uC(t) = E(1 − e−t/τ).
Mesurer la capacité sur le graphe
À la date τ, la tension atteint 63 % de E, soit environ 1,6 V. La courbe donne τ ≈ 8,0 × 10² s, et avec R = 2,0 Ω on obtient C1 ≈ 4,0 × 10² F. La lecture est peu précise, une graduation valant 500 s : il faut donc garder deux chiffres significatifs. La méthode de la tangente à l'origine est une alternative, moins fiable sur des points expérimentaux.
Incertitudes et compatibilité
La moyenne fournie par la calculatrice, 814,2827 s, ne peut pas être recopiée telle quelle : l'incertitude-type, arrondie à 1,2 s, impose d'écrire 814,3 s. La capacité vaut alors C2 = 407 F, avec une incertitude-type de 20 F obtenue par la formule donnée. Le résultat s'écrit 4,1 × 10² F avec u(C2) = 0,2 × 10² F. On remarque que l'incertitude relative sur la résistance, 5 %, l'emporte largement sur celle de la durée. Enfin, le quotient |C2 − Créf|/u(C2) vaut environ 0,35, inférieur à 2 : la mesure est compatible avec les 400 F du constructeur.
Les pièges à éviter
Oublier de diviser par le coefficient de la dérivée avant d'identifier τ, résoudre l'équation au lieu de la vérifier, ou conserver trop de chiffres dans un résultat de mesure : ce sont les erreurs les plus fréquentes sur ce type d'exercice.
Conseils
L'enchaînement loi des mailles, loi d'Ohm, relation entre i et uC est à connaître par cœur, car il revient à chaque circuit RC. Pour les incertitudes, arrondissez d'abord l'incertitude-type, puis alignez la valeur sur la même décimale. Cet exercice est un bon choix pour un candidat à l'aise avec l'électricité et les calculs d'incertitude.