Une cave à vin entre thermodynamique et acoustique

L'exercice 2 du sujet 2 d'Asie 2021 fait partie des exercices de 5 points proposés au choix. Il suit la mise à température d'une bouteille de vin dans une cave électrique, puis se demande si le bruit de deux caves reste audible derrière une cloison. Huit questions courtes, où la rigueur des justifications compte autant que les calculs.

Partie 1 : le refroidissement de la bouteille

Questions 1 à 3 : du premier principe au flux

Le système vin et bouteille est immobile et incompressible : son énergie mécanique ne varie pas et il ne reçoit aucun travail, donc ΔU = Q. Le vin, à 22 °C, est plus chaud que l'air à 13 °C : Q est négatif. Le flux thermique est un transfert par unité de temps, Q = Φ × Δt, avec Q en joule, Φ en watt et Δt en seconde. En réunissant ΔU = C × ΔT et ces deux relations, on obtient Φ = C × ΔT / Δt.

Question 4 : l'équation différentielle

En égalant cette expression à la loi de Newton, Φ = –h S (T – Tair), puis en faisant tendre Δt vers 0, on obtient dT/dt = –(1/τ)(T – Tair) avec τ = C / (h S). L'unité se justifie par l'analyse dimensionnelle : τ est un temps, en seconde. Le corrigé calcule aussi sa valeur pour contrôle, environ 7,0 × 10³ s, soit près de deux heures.

Questions 5 et 6 : exploiter la courbe

T0 est l'ordonnée à l'origine, 295 K, et Tair la limite aux temps longs, 286 K, soit 22 °C et 13 °C. Le piège consiste à lire ces valeurs sans les relier au modèle exponentiel. Pour la durée, on cherche l'instant où T vaut 286,5 K, car le modèle n'atteint jamais exactement sa limite. La lecture donne environ 2,0 × 10⁴ s, soit 5 h 30 min environ, ce qui représente à peu près trois constantes de temps.

Partie 2 : le bruit des caves

Question 7 : additionner des intensités

Une cave produit 42 dB à 1,0 m. On calcule son intensité sonore, on la double, puis on revient au niveau : 45 dB. Additionner les niveaux, 42 + 42, est l'erreur à éviter. Le raccourci du corrigé sert de contrôle : doubler l'intensité ajoute environ 3 dB.

Question 8 : audible ou pas ?

À 200 Hz, la cloison atténue de 25 dB : le niveau transmis vaut 20 dB. Le seuil d'audibilité à cette fréquence, lu sur la courbe à axe logarithmique, est d'environ 15 dB. Le son est donc audible, de peu. Comparer 20 dB à 0 dB serait une faute : le seuil dépend de la fréquence.

Conseils pour cet exercice

Écrivez les hypothèses avant chaque relation thermodynamique, donnez les unités demandées et justifiez chaque lecture graphique par une propriété du modèle. En acoustique, repassez systématiquement par les intensités dès qu'il faut combiner plusieurs sources.