Mission Rosetta : de Kepler à la chute de Philae

Cet exercice de 10 points, prévu pour environ 1 h 30, couvre une grande partie de la mécanique de terminale S à partir d'une histoire réelle : la sonde ROSETTA rejoint la comète 67P, se place en orbite autour d'elle puis largue le module PHILAE. Il se découpe en trois parties qui mobilisent successivement les lois de Kepler, la deuxième loi de Newton et la conservation de la quantité de mouvement.

Partie 1 : l'orbite de la comète

La question 1.1 demande un schéma de l'orbite. La comète décrit une ellipse dont le Soleil occupe un foyer, avec le périhélie à 1,24 ua et l'aphélie à 5,68 ua. L'erreur fréquente consiste à placer le Soleil au centre de l'ellipse, alors qu'il est nettement décalé vers le périhélie. La question 1.2 s'appuie sur la loi des aires : pour une même durée, l'arc parcouru près du Soleil est plus long que l'arc parcouru loin du Soleil, donc la vitesse est maximale au périhélie.

En 1.3, la troisième loi de Kepler se traite sans connaître la constante : on compare la comète à la Terre, en gardant les années et les unités astronomiques. Le demi-grand axe vaut a = (1,24 + 5,68)/2 = 3,46 ua, d'où une période de 6,44 ans. Prendre 5,68 ua ou 6,92 ua pour a est le piège principal.

Partie 2 : ROSETTA en orbite autour de la comète

L'expression vectorielle de la force gravitationnelle fait intervenir la distance au centre de la comète, R + h, et non l'altitude h seule. En identifiant poids et force gravitationnelle, on obtient le champ de pesanteur g = G·M_C/(R + h)², puis la deuxième loi de Newton donne une accélération égale à ce champ. Annoncer système, référentiel et bilan des forces fait partie des points attendus.

Pour démontrer la formule de la vitesse en 2.3.1, il faut justifier que le mouvement est uniforme et citer l'accélération centripète v²/(R + h). L'application numérique, avec les distances converties en mètres, donne v = 0,17 m/s. La période de révolution se calcule ensuite par T = 2π(R + h)/v : environ 7,9 × 10⁵ s, soit un peu plus de 9 jours. Reprendre la valeur arrondie de v conduit à un résultat légèrement faux.

Partie 3 : la descente de PHILAE

Le modèle de chute libre sans vitesse initiale, établi par deux intégrations successives, prévoit une durée de 5,2 × 10⁴ s, soit environ 14 h, et une vitesse d'impact de 0,77 m/s. Sur Terre, la même vitesse serait atteinte après une chute de seulement 3,1 cm, car la pesanteur terrestre est environ 650 000 fois plus intense. La question 3.1.3 demande de critiquer le modèle : la chute réelle dure 7 h, ce qui remet en cause l'uniformité du champ, la vitesse initiale nulle et l'hypothèse d'une chute libre dans un référentiel galiléen. Chaque critique gagne à s'appuyer sur un ordre de grandeur calculé.

La dernière question utilise la conservation de la quantité de mouvement du système isolé {ROSETTA + PHILAE}. Après le largage, la masse de ROSETTA n'est plus que M − M_P, et sa vitesse passe à 0,18 m/s. Cette notion relève de l'ancien programme et n'est plus exigible aujourd'hui.

Conseils pour réussir

Travaillez en unités SI dès que G intervient, gardez les valeurs non arrondies dans la calculatrice pour les calculs enchaînés et soignez les schémas, qui rapportent des points dès la première question. Le corrigé reprend chaque étape avec ses calculs et ses pièges.