Les muons et la relativité restreinte

L'exercice 3 du bac S 2018 Amérique du Nord (ancien programme), noté sur 5 points, se traite en une cinquantaine de minutes. Il part d'une citation sur les muons, des particules produites par les rayons cosmiques à plusieurs dizaines de kilomètres d'altitude. Leur durée de vie est si courte qu'ils ne devraient pas atteindre le sol, et pourtant on les détecte. La première partie résout ce paradoxe avec la relativité restreinte, la seconde exploite des comptages réalisés avec un cosmodétecteur.

Partie 1 : la relativité au service de l'observation

Question 1.1 : un ordre de grandeur

Une particule qui parcourt 600 m en 2,0 µs va à 3,0 × 10⁸ m/s : on retrouve la célérité de la lumière. Le seul piège est la conversion des microsecondes en secondes.

Question 1.2 : la dilatation des durées

Pour une vitesse de 0,9997 c, le facteur de Lorentz vaut 40,8. La durée de vie mesurée dans le laboratoire est donc environ 41 fois plus longue que la durée propre de 2,2 µs, soit 90 µs. Il faut garder tous les chiffres de 0,9997² dans la calculatrice : arrondir ce carré à 1 annule la racine.

Questions 1.3 et 1.4 : distance et énergie

Pendant 89,8 µs, le muon parcourt environ 27 km, ce qui lui permet d'atteindre le sol. Sans dilatation des durées, il ne parcourrait qu'environ 660 m. L'énergie se calcule avec E = γmc², et non avec l'énergie cinétique classique : on obtient 6,9 × 10⁻¹⁰ J, soit 4,3 GeV. Pour conclure sur la cohérence, on encadre les résultats par les valeurs du document : l'énergie entre 1 et 10 GeV, le parcours entre 6,87 km et 63 km.

Partie 2 : mesures avec un cosmodétecteur

Question 2.1 : orienter le détecteur

Le nombre de coups est maximal pour un angle nul, c'est-à-dire un détecteur tourné vers le zénith, direction où l'épaisseur d'atmosphère traversée est la plus faible. Autour de cette position, la courbe est presque plate : un écart de quelques degrés reste inférieur à la barre d'incertitude, mais un réglage soigné permet de comparer les mesures.

Questions 2.2.1 et 2.2.2 : moyenne et incertitude

La meilleure estimation est la moyenne des 24 comptages, soit 966 impacts en 10 minutes. Attention à ne pas compter la ligne de 8 h 00, vide. L'écart-type expérimental vaut 38,19, ce qui donne une incertitude élargie de 15,6, arrondie à 2 × 10¹. Le résultat s'écrit (9,7 ± 0,2) × 10² impacts, avec un niveau de confiance de 95 %. Le mode statistique de la calculatrice fait gagner beaucoup de temps.

Question 2.3 : la surface effective

Lunel étant au niveau de la mer, le flux vaut un muon par centimètre carré et par minute. En divisant le nombre d'impacts par le flux et par la durée de 10 minutes, on obtient environ 97 cm², soit un carré d'une dizaine de centimètres de côté, ce qui est réaliste.

Conseils pour réussir

Cet exercice demande surtout de la rigueur : conversions d'unités, chiffres significatifs et justification de chaque cohérence par une comparaison chiffrée. La dilatation des durées ne fait plus partie du programme actuel de spécialité, mais le traitement statistique d'une série de mesures reste au cœur des attentes.