Détection et habitabilité d'une exoplanète : l'analyse du corrigé

Cet exercice de 5 points, à traiter en 50 minutes environ, porte sur le système HD 189733, formé d'une étoile proche du Soleil et d'une exoplanète géante très proche d'elle. Il combine deux grands thèmes du programme de Terminale S : l'effet Doppler, qui sert à détecter la planète, et la mécanique céleste, qui permet de calculer la taille de son orbite. La dernière question demande de décider si la planète se trouve dans la zone d'habitabilité de son étoile.

Partie 1 : de la mesure spectrale à la trajectoire

La première question est une question de compréhension. Les chercheurs n'ont pas mesuré directement une vitesse : ils ont enregistré, nuit après nuit, le spectre de l'étoile et relevé la longueur d'onde d'une raie connue. Le décalage spectral donne alors la vitesse radiale par la relation v = c × Δλ / λ. Répondre simplement « ils ont mesuré la vitesse » ne suffit pas, c'est le piège classique.

La lecture de la période se fait sur le document 2 : entre les dates 2454300 et 2454310, la courbe décrit 4,5 périodes en 10 jours, soit T ≈ 2,2 jours, c'est-à-dire environ 1,92 × 10⁵ s. La bonne méthode consiste à mesurer plusieurs périodes d'un coup pour réduire l'erreur de lecture. Le document 1 indique que l'étoile et la planète ont la même période.

La forme sinusoïdale régulière de la courbe correspond, d'après le document 1, à une orbite circulaire. Attention à ne pas confondre la courbe de vitesse avec la trajectoire. Pour montrer que le mouvement est uniforme, on utilise la deuxième loi de Kepler : sur un cercle centré sur l'étoile, des aires égales balayées pendant des durées égales correspondent à des arcs de même longueur. Uniforme signifie que la valeur de la vitesse est constante, pas le vecteur vitesse.

Partie 2 : troisième loi de Kepler et distance à l'étoile

Après l'énoncé de la troisième loi de Kepler, la question 2.2 est une démonstration incontournable. Il faut préciser le système, le référentiel supposé galiléen et la force gravitationnelle, appliquer la deuxième loi de Newton, exprimer l'accélération dans le repère de Frenet, puis identifier pour obtenir v² = GM/R. Avec v = 2πR/T, on retrouve T²/R³ = 4π²/(GM). La masse de la planète se simplifie : M est celle de l'étoile.

Le calcul du rayon de l'orbite utilise une étoile de masse 0,82 fois celle du Soleil et la période exprimée en secondes. On trouve R ≈ 4,7 × 10⁹ m, soit environ 4,7 millions de kilomètres. Les deux erreurs fréquentes sont de garder la période en jours et d'oublier le facteur 0,82.

Pour conclure sur l'habitabilité, on convertit en unités astronomiques : R ≈ 0,031 U.A. L'étoile ressemblant au Soleil, on peut reprendre la zone d'habitabilité solaire, comprise entre 0,723 U.A. et 1,52 U.A. La planète est donc beaucoup trop proche de son étoile, environ 23 fois plus près que Vénus ne l'est du Soleil : elle n'appartient pas à la zone d'habitabilité, ce qui justifie son surnom de Jupiter chaud.

Conseils de méthode

Dans ce type d'exercice, soignez les conversions (jours en secondes, kilomètres en mètres), gardez un chiffre significatif de plus dans les calculs intermédiaires et justifiez chaque hypothèse empruntée aux documents. La démonstration de la troisième loi de Kepler revient très souvent : il vaut la peine de savoir la rédiger d'une traite, dans l'ordre système, référentiel, force, loi de Newton, repère de Frenet, identification.