Schéma légendé ci-dessous. La cellule du conductimètre plonge dans le bécher, placé sous agitation.

Les commentaires du programme imposent les unités : $V_1$ en mL et $C$ en mol/L.

Ligne 4 : $\text{V1=250.0}$

Ligne 5 : $\text{C=1.00E-2}$

À l'équivalence, les réactifs ont été introduits dans les proportions stœchiométriques de $\mathrm{Ag}{}^{+}(\mathrm{aq})+\mathrm{Cl}{}^{-}(\mathrm{aq})\to \mathrm{AgCl}(\mathrm{s})$ :

$n(\mathrm{Ag}{}^{+}{)}_{\text{verseˊ}}=n(\mathrm{Cl}{}^{-}{)}_{\text{initial}}$, soit $C\cdot V_E=C_1\cdot V_1$, donc $V_E=\frac{C_1\cdot V_1}{C}$.

Quantité de chlorure d'argent formé, en mol :

• pour $V=0$ : rien n'a encore été versé, $n=0$ ;
• pour $V=V_E$ : tous les ions $\mathrm{Ag}{}^{+}$ versés ont réagi, $n=C\cdot V_E$ ;
• pour $V=V_{max}$ : les ions chlorure sont épuisés depuis l'équivalence, la quantité reste $n=C\cdot V_E$.

Le volume est en mL : on le multiplie par $0,001$ pour l'exprimer en litre.

Les ions nitrate sont spectateurs : tous ceux qui sont versés restent en solution. Leur quantité est donc proportionnelle au volume versé : $n(\mathrm{NO}{}_3{}^{-})=C\cdot V$.

Le tracé est une droite passant par l'origine. Pour $V=25$ mL : $n(\mathrm{NO}{}_3{}^{-})=1,00\times 10^{-2}\times 25\times 10^{-3}=2,5\times 10^{-4}$ mol.

Le volume versé reste petit devant $V_1$ : on néglige la dilution. Les autres ions de l'eau du robinet ne réagissent pas, leur contribution est constante.

Avant l'équivalence : $n(\mathrm{Cl}{}^{-})$ diminue, $n(\mathrm{Ag}{}^{+})$ reste nulle (ions consommés dès leur ajout) et $n(\mathrm{NO}{}_3{}^{-})$ augmente. Chaque ion chlorure consommé est remplacé par un ion nitrate, un peu moins conducteur ($7,1<7,6$) : la conductivité diminue faiblement.

Après l'équivalence : les ions chlorure ont tous été consommés ; les ions $\mathrm{Ag}{}^{+}$ et $\mathrm{NO}{}_3{}^{-}$ versés s'accumulent : la conductivité augmente.

Sur la figure 2, on trace les deux droites moyennes ; l'abscisse de leur point d'intersection est le volume à l'équivalence : $V_E=10,8$ mL.

À l'équivalence : $C\cdot V_E=C_1\cdot V_1$, donc $C_1=\frac{C\cdot V_E}{V_1}$.

Concentration en masse : $C_m=C_1\cdot M(\mathrm{Cl})=\frac{C\cdot V_E}{V_1}\cdot M(\mathrm{Cl})$

$$C_m=\frac{1,00\times 10^{-2}\times 10,8}{250,0}\times 35,5=1,53\times 10^{-2}\text{g}\cdot {\text{L}}^{-1}$$

La réaction produit un gaz, le dioxyde de carbone. Dans un bocal fermé relié à un capteur de pression, la pression augmente avec la quantité de gaz formé.

Tableau d'avancement, $x(t)$ étant l'avancement à la date $t$ (quantités en mol) :

$$\begin{array}{lccc}& \mathrm{C}{}_6\mathrm{H}{}_{12}\mathrm{O}{}_6& 2\mathrm{CH}{}_3\mathrm{CH}{}_2\mathrm{OH}& 2\mathrm{CO}{}_2\\ t_0=0& n_{\text{glu}}(t_0)& 0& 0\\ t& n_{\text{glu}}(t_0)-x(t)& 2x(t)& 2x(t)\end{array}$$

À la date $t$ : $n_{\text{eˊth}}(t)=2x(t)$, donc $x(t)=\frac{n_{\text{eˊth}}(t)}{2}=\frac{C_{\text{eˊth}}(t)\cdot V_{\text{Boisson}}}{2}$.

On reporte dans $n_{\text{glu}}(t)=n_{\text{glu}}(t_0)-x(t)$ :

Définition de la vitesse volumique de disparition du glucose : $v_{\text{disp}}(t)=-\frac{\mathrm{d}{C}_{\text{glu}}(t)}{\mathrm{d}t}$.

Loi de vitesse d'ordre 1 : la vitesse est proportionnelle à la concentration du réactif, $v_{\text{disp}}(t)=k\cdot C_{\text{glu}}(t)$.

En égalant les deux expressions : $-\frac{\mathrm{d}{C}_{\text{glu}}(t)}{\mathrm{d}t}=k\cdot C_{\text{glu}}(t)$, soit

On dérive la fonction proposée : $\frac{\mathrm{d}{C}_{\text{glu}}(t)}{\mathrm{d}t}=-k\cdot C_{\text{glu}}(0)\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot t}=-k\cdot C_{\text{glu}}(t)$.

On reporte dans l'équation : $-k\cdot C_{\text{glu}}(t)+k\cdot C_{\text{glu}}(t)=0$. L'équation est vérifiée à toute date.

De plus, à $t=0$ : $C_{\text{glu}}(0)\cdot {\mathrm{e}}^0=C_{\text{glu}}(0)$, la condition initiale est respectée.

Pour une loi d'ordre 1 : $\ln C_{\text{glu}}(t)=\ln \left(C_{\text{glu}}(0)\cdot {\mathrm{e}}^{-k\cdot t}\right)=\ln C_{\text{glu}}(0)-k\cdot t$.

$\ln C_{\text{glu}}$ doit donc être une fonction affine décroissante du temps, de coefficient directeur $-k$.

Sur la figure 3, les points expérimentaux sont alignés sur une droite de pente négative, bien décrite par la modélisation affine.

À $t=0$, la modélisation donne $\ln C_{\text{glu}}(0)=-2,22$, donc $C_{\text{glu}}(0)={\mathrm{e}}^{-2,22}=0,109\text{mol}\cdot {\text{L}}^{-1}$.

Masse initiale : $m_{\text{glu}}(0)=n_{\text{glu}}(0)\cdot M=C_{\text{glu}}(0)\cdot V_{\text{Boisson}}\cdot M(\mathrm{C}{}_6\mathrm{H}{}_{12}\mathrm{O}{}_6)$

$$m_{\text{glu}}(0)={\mathrm{e}}^{-2,22}\times 1\times 180,0=19,5\text{g}$$

Commentaire : cette valeur est très proche des 20 g de glucose annoncés (écart d'environ 2 %). La modélisation est cohérente avec la préparation.

$$t_{1/2}=\frac{\ln 2}{k}=\frac{\ln 2}{5,34\times 10^{-6}}=1,30\times 10^5\text{s}$$

soit $\frac{1,30\times 10^5}{3600}=36,1$ h.

Au bout de 24 h, durée minimale de la recette, moins d'un temps de demi-réaction s'est écoulé : plus de la moitié du glucose est encore présente (${\mathrm{e}}^{-k\cdot t}=0,63$, soit 63 %). La boisson reste sucrée.

En revanche, il ne reste que la moitié du sucre après 36 h et le quart après 72 h : la fermentation ne doit pas être prolongée plusieurs jours.

L'acide citrique possède des liaisons $\mathrm{O}-\mathrm{H}$ (un groupe hydroxyle et trois groupes carboxyle) ; le citral n'en possède aucune. Les deux molécules ont des liaisons $\mathrm{C}=\mathrm{O}$.

Le spectre B présente une bande forte et large entre $3200$ et $3700{\text{cm}}^{-1}$, caractéristique de la liaison $\mathrm{O}-\mathrm{H}$. Le spectre A n'en présente pas : on y voit surtout les bandes $\mathrm{C}-\mathrm{H}$ (vers $2900{\text{cm}}^{-1}$) et $\mathrm{C}=\mathrm{O}$ (vers $1700{\text{cm}}^{-1}$).

Le solvant extracteur doit dissoudre les trois espèces et ne pas être miscible avec l'eau du kéfir, afin d'obtenir deux phases séparables.

• Eau : c'est déjà le solvant de la boisson, et le citral comme le limonène y sont peu solubles. Elle est écartée.
• Cyclohexane : non miscible avec l'eau, mais la solubilité de l'acide citrique y est nulle. Il est écarté.
• Acétate d'éthyle : les trois espèces y sont solubles (convenable ou grande) et il est faiblement miscible avec l'eau.

Dans les mêmes conditions, une espèce chimique migre toujours à la même hauteur.

Le dépôt K (extrait de kéfir) ne donne qu'une seule tache, située à la même hauteur que celle du dépôt A (acide citrique). Aucune tache de K ne se trouve à la hauteur de celles du citral (C) ou du limonène (L).