Peser un trou noir avec la mécanique de Newton

Le premier exercice du Bac S 2014 Antilles-Guyane vaut 5 points, soit environ 50 minutes. Il part d'une observation réelle : l'étoile S2 tourne autour d'un objet invisible situé au centre de la Galaxie. L'exercice mobilise trois blocs du programme de l'époque : les lois de Kepler, l'interaction lumière-matière avec le laser, et la mécanique du mouvement circulaire.

Première loi de Kepler et argument du trou noir (question 1.1)

On énonce d'abord la loi des orbites : le centre de chaque planète décrit une ellipse dont le Soleil occupe un foyer. Transposée à S2, elle indique que l'astre attracteur se trouve au foyer de l'ellipse observée. Le point décisif, souvent oublié, est la distance d'approche : S2 est passée à seulement 17 heures-lumière de ce foyer en restant sur son orbite. Toute la masse tient donc dans une région plus petite que cette distance, ce qui exclut un amas d'étoiles sombres, bien plus étendu. Se contenter de dire que la trajectoire est une ellipse ne suffit pas.

Optique adaptative et étoile guide (questions 1.2 à 2.2)

Les turbulences de l'atmosphère déforment l'onde reçue par un télescope au sol. Or S2 appartient à un amas très dense : il faut des images très fines pour suivre ses positions successives. L'optique adaptative corrige cet effet en analysant la lumière d'une étoile de référence brillante. Quand aucune n'est disponible près de l'objet, on en crée une avec un laser. Trois propriétés justifient ce choix : la directivité, qui donne une étoile quasi ponctuelle à 90 km d'altitude, la monochromaticité, qui permet d'accorder la longueur d'onde sur le sodium, et la concentration de l'énergie, qui rend l'étoile assez brillante.

Niveaux d'énergie du sodium (questions 2.3 et 2.4)

Un atome n'absorbe un photon que si son énergie est égale à l'écart entre deux de ses niveaux. Le laser doit donc émettre à 589 nm, la longueur d'onde de la raie du sodium. Répondre ce nombre sans justification fait perdre des points. Le diagramme montre une flèche d'absorption qui monte de E₁ à E₂, puis une flèche d'émission qui redescend. Le calcul ΔE = hc/λ donne 3,37 × 10^-19 J, soit 2,11 eV. Le piège classique consiste à laisser λ en nanomètres. L'expérience ne donne que l'écart entre les niveaux, pas leur valeur.

Mouvement circulaire et masse du trou noir (questions 3.1 à 3.4)

Dans le modèle circulaire, le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et l'accélération est centripète, toutes deux de norme constante. La deuxième loi de Newton, écrite dans le repère de Frenet, donne l'uniformité du mouvement par la composante tangentielle et v = √(GM/r) par la composante normale. On en déduit T = 2π√(r³/(GM)), ce qui redonne la troisième loi de Kepler. La masse vient ensuite de M = 4π²r³/(GT²), après conversion de r en mètres et de T en secondes. On trouve M = 7,45 × 10³⁶ kg, soit 3,7 millions de masses solaires, en accord avec les 3 à 4 millions annoncés.

Conseils pour réussir

Rédigez toujours la démarche de Newton dans l'ordre : système, référentiel, force, loi, projection. Convertissez les heures-lumière avec c × 3600 s et gardez les valeurs non arrondies en mémoire, sinon le résultat dérive vers 7,5 × 10³⁶ kg. Les propriétés du laser ne sont plus au programme actuel, mais la quantification de l'énergie et les lois de Kepler le sont toujours : cet exercice reste un très bon entraînement.