Le bac S 2005 Métropole rattrapage en physique-chimie : vue d'ensemble

Ce sujet complet correspond à l'épreuve écrite de physique-chimie du bac S de la session de rattrapage de septembre 2005 en Métropole (ancien programme). L'épreuve dure 3 h 30, sans calculatrice : toutes les applications numériques s'appuient sur les aides au calcul fournies dans l'énoncé. Le tronc commun comporte trois exercices indépendants, un de chimie, un mixte de physique et de chimie et un de physique, pour 16 points ; l'exercice de spécialité, sur 4 points, complète le total de 20 points. Les annexes sont à rendre avec la copie : un tableau d'avancement, des courbes de décroissance radioactive et un schéma du transit de Vénus.

Les thèmes balayés sont variés : électrolyse, tableaux d'avancement, pH et sens d'évolution, radioactivité, méthode d'Euler, estérification, gravitation et lois de Kepler. Le fil conducteur est la rigueur dans les conversions d'unités et dans l'usage des puissances de dix, puisque la calculatrice est interdite.

Exercice 1 : traitement de l'eau d'une piscine (4 points)

Partie 1 : identifier les couples et l'électrode siège de l'oxydation

À partir de l'équation de l'électrolyse, il faut repérer les deux couples oxydant/réducteur mis en jeu : H₂O/H₂ et Cl₂/Cl⁻. L'espèce oxydée est l'ion chlorure, qui cède des électrons pour donner le dichlore. La question 1.3 demande de raisonner sur le sens du courant : l'électrode B est reliée à la borne + du générateur, les électrons quittent donc cette électrode, où se produit l'oxydation des ions chlorure avec un dégagement de dichlore. Le piège est de raisonner comme pour une pile : dans un électrolyseur, c'est le générateur qui impose le sens du courant, et l'anode est reliée à la borne +.

Partie 2 : tableau d'avancement et quantité d'hypochlorite

Le tableau d'avancement de l'annexe se complète en ajoutant une colonne pour les électrons échangés. En combinant les deux demi-équations, on voit que deux électrons sont échangés chaque fois que l'équation se produit une fois : pour un avancement x, la quantité d'électrons vaut 2x et la quantité de dichlore vaut x. On en déduit n(e⁻) = 2 n₁(Cl₂). Dans l'équation 2, le dichlore et l'ion hypochlorite ont le même nombre stœchiométrique, d'où n(ClO⁻) = n₂(Cl₂). La transformation 2 étant totale et rapide, tout le dichlore formé est consommé, ce qui donne n(e⁻) = 2 n(ClO⁻).

Le calcul final relie la charge électrique à la quantité de matière : Q = I·Δt = n(e⁻)·N_A·e. Avec I = 20 A pendant une heure, soit 3 600 s, et l'aide N_A·e = 1,0 × 10⁵ C·mol⁻¹, on obtient une quantité maximale d'ions hypochlorite de 0,36 mol. Deux erreurs reviennent souvent : laisser la durée en heures, et oublier le facteur 2 entre électrons et ions hypochlorite.

Partie 3 : diagramme de prédominance et sens d'évolution

À pH = 8,5, valeur supérieure au pK_A3 = 7,5, la base ClO⁻ prédomine. Le rapport [ClO⁻]/[HClO] vaut 10^{pH − pKA} = 10. La constante d'équilibre de la réaction de l'ion hypochlorite avec l'ion oxonium est l'inverse de K_A3, soit K = 10^7,5, environ 3 × 10⁷. L'injection de 0,10 mol d'acide dans 1,0 × 10⁵ L donne une concentration initiale en ions oxonium de 1,0 × 10⁻⁶ mol·L⁻¹ et un quotient de réaction initial de 1,0 × 10⁵. Comme ce quotient est inférieur à K, la réaction évolue dans le sens direct, le rapport [ClO⁻]/[HClO] diminue et le pH de l'eau baisse.

Exercice 2 : à propos du marquage isotopique (6,5 points)

Désintégration et constante radioactive

Le noyau de fluor 18 contient 9 protons et 9 neutrons. Les lois de conservation du nombre de nucléons et du nombre de charge donnent A = 0 et Z = 1 pour la particule émise : c'est un positon, la désintégration est de type β⁺. Le temps de demi-vie est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initialement présents s'est désintégrée. La relation t_1/2 = ln2/λ montre que λ s'exprime en s⁻¹ ; avec t_1/2 = 110 min = 6,6 × 10³ s, on trouve λ ≈ 1 × 10⁻⁴ s⁻¹. Le piège est de laisser la demi-vie en minutes, ce qui conduit à choisir le mauvais ordre de grandeur.

Activité des doses et lecture graphique

En dérivant N = N₀e^−λt, on obtient A = λN₀e^−λt, donc A₀ = λN₀. Une activité de 260 MBq correspond à N = A/λ = 2,6 × 10¹² noyaux : penser à convertir les mégabecquerels en becquerels. Sur la figure 2, on trace l'horizontale A = 260 MBq : la courbe D1 est coupée à t = 60 min, ce qui place la fabrication à 8 h 00, et la courbe D2 à t = 180 min, ce qui place le deuxième examen à 11 h 00. Pour que l'activité soit divisée par 100, il faut une durée égale à ln(100)/λ = 4,6 × 10⁴ s, soit environ 13 h : l'ordre de grandeur est de 10 h.

Méthode d'Euler

L'équation différentielle dA/dt = −λA, approchée par ΔA/Δt, donne la relation de récurrence A(t_n+1) = (1 − λΔt)A(t_n). Avec A₀ = 800 MBq et Δt = 100 s, le facteur vaut 0,99 : on obtient A(t₁) = 792 MBq puis A(t₂) ≈ 784 MBq, valeurs en accord avec la figure 3. Un pas de 1 s rend l'approximation plus précise mais multiplie le nombre de calculs par 100.

Estérification et marquage à l'oxygène 18

L'acide salicylique réagit par son groupe carboxyle avec le méthanol pour donner le salicylate de méthyle et de l'eau : c'est une estérification, réaction lente et limitée. L'acide sulfurique est un catalyseur. Dans le montage à reflux, l'eau entre par le bas du réfrigérant (tube 2) et sort par le haut (tube 1) ; le chauffage accélère la réaction sans perte de matière. Avec 0,50 mol d'acide et 1,0 mol de méthanol, l'acide salicylique est le réactif limitant ; l'excès d'alcool déplace l'équilibre et améliore le rendement. Enfin, l'oxygène marqué de l'alcool se retrouve dans l'ester et non dans l'eau : c'est l'hypothèse 2, où l'acide perd son groupe OH et l'alcool son atome d'hydrogène.

Exercice 3 (spécialité) : de la bauxite à l'aluminium (4 points)

Première partie : faire précipiter l'hydroxyde d'aluminium

Le solide Al(OH)₃ n'apparaît pas dans l'expression de la constante d'équilibre : K = [HO⁻]/[Al(OH)₄⁻]. Dès l'apparition du premier grain de précipité, l'équilibre est établi, d'où [HO⁻] = K·[Al(OH)₄⁻]. Avec K = 1,0 × 10⁻¹ et c = 1,0 × 10⁻¹ mol·L⁻¹, on obtient [HO⁻] = 1,0 × 10⁻² mol·L⁻¹. Le produit ionique de l'eau donne alors [H₃O⁺] = 1,0 × 10⁻¹² mol·L⁻¹, soit pH₁ = 12. Le piège classique est d'écrire pH = −log[HO⁻] : il faut passer par les ions oxonium.

Le précipité apparaît quand le pH diminue jusqu'à pH₁ : son domaine d'existence se situe donc du côté des pH inférieurs à 12 sur le diagramme. Industriellement, abaisser le pH de la solution basique fait précipiter l'aluminium sous forme d'hydroxyde, que l'on sépare ensuite. Le refroidissement est utile car la solubilité de Al(OH)₃ diminue avec la température : on récupère davantage de précipité.

Deuxième partie : l'électrolyse de l'alumine

L'électrolyte fondu dissout l'alumine et libère les ions Al³⁺ et O²⁻, qui deviennent mobiles et portent le courant. À la cathode, reliée à la borne − du générateur, se produit la réduction Al³⁺ + 3 e⁻ = Al ; aux anodes en carbone, reliées à la borne +, se produit l'oxydation 2 O²⁻ = O₂ + 4 e⁻. Comme pour toute électrolyse, il ne faut pas reprendre les signes d'une pile : c'est le générateur qui impose le sens du courant.

Pour compléter le tableau d'avancement, on multiplie les demi-équations pour égaliser les électrons : 12 électrons sont échangés pour un avancement x, et n(Al) = 4x. On en déduit n(e⁻) = 3m/M(Al) et la charge Q = 12 x_f·N_A·e. Pour m = 1,08 t, soit 1,08 × 10⁶ g, l'avancement final vaut 1,00 × 10⁴ mol. Avec I = 1,0 × 10⁵ A, la durée est de 1,2 × 10⁵ s, de l'ordre de 30 h, un peu plus d'une journée.

Exercice 4 : le transit de Vénus du 8 juin 2004 (5,5 points)

Partie 1 : mouvement de Vénus autour du Soleil

Le mouvement est étudié dans le référentiel héliocentrique. La force exercée par le Soleil sur Vénus est la force d'attraction gravitationnelle, F = −G·M₁M₂/R₂²·u, avec u le vecteur unitaire dirigé du Soleil vers Vénus. Le piège est d'oublier le signe moins : la force est attractive. La deuxième loi de Newton donne une accélération a = −G·M₁/R₂²·u, indépendante de la masse de Vénus.

Le mouvement étant circulaire et uniforme, l'accélération est centripète, de valeur v₂²/R₂. L'égalité des deux expressions donne v₂ = √(G·M₁/R₂). En convertissant R₂ en mètres, on obtient v₂ = 3,6 × 10⁴ m·s⁻¹, soit 36 km·s⁻¹. La période de révolution vaut T₂ = 2πR₂/v₂ = 1,7 × 10⁷ s. En élevant cette expression au carré, on retrouve la troisième loi de Kepler : T²/R³ = 4π²/(G·M₁), ce qui permet d'exprimer la masse du Soleil.

Partie 2 : exploiter le transit

Sur la figure 6, OE est un diamètre du Soleil : avec AB/OE = 3/4, on trouve AB ≈ 1,1 × 10⁶ km. Le théorème de Thalès appliqué au triangle Q₁AB donne A'B'/AB = (R₁ − R₂)/R₁ = 1/3, soit A'B' = 3,5 × 10⁵ km. Divisée par la durée du transit, 2,0 × 10⁴ s, cette distance donne une vitesse de 17,5 km·s⁻¹, voisine de 18 km·s⁻¹ : deux fois plus petite que v₂. Un piège fréquent consiste à diviser AB, trajet de la tache sur le disque solaire, au lieu de A'B', trajet de Vénus.

Pour expliquer cet écart, on calcule le déplacement de la Terre pendant le transit : Q₁Q₂ = 30 × 2,0 × 10⁴ = 6,0 × 10⁵ km, du même ordre de grandeur que AB. La Terre ne peut donc pas être considérée comme immobile. Sur la figure 8, le point B'' se place à l'intersection de la droite (Q₂B) et de l'orbite de Vénus : la distance A'B'' est supérieure à A'B', ce qui explique que la vitesse mesurée depuis la Terre sous-estime la vitesse orbitale réelle.

Gestion du temps

Les durées conseillées sont proportionnelles au barème : environ 52 minutes pour l'exercice sur la piscine, 1 h 18 pour le marquage isotopique, 52 minutes pour l'exercice de spécialité et 1 h 05 pour le transit de Vénus. Commencez par lire l'ensemble du sujet et repérez les annexes à rendre, puis traitez en priorité les questions de cours rapides : définition du temps de demi-vie, nom du référentiel, rôle du catalyseur, caractéristiques de l'estérification. Les calculs sans calculatrice demandent de garder les puissances de dix et de s'appuyer sur les aides proposées, qui donnent souvent l'ordre de grandeur attendu.

Conclusion

Ce sujet de rattrapage est un excellent entraînement pour vérifier sa maîtrise des électrolyses, des bilans de matière avec électrons, du critère d'évolution spontanée, de la décroissance radioactive et de la mécanique céleste. Faites-le d'abord en temps limité, puis comparez votre copie au corrigé détaillé, exercice par exercice, en relisant les pièges et les méthodes signalés dans les encarts.