Un microphone électrostatique modélisé par un circuit RC

L'exercice 2 du bac 2023 de physique-chimie en Polynésie (jour 2) vaut 5 points, soit environ 53 minutes. Il étudie un capteur du quotidien : le microphone électrostatique, dont la membrane mobile forme avec une plaque fixe un condensateur plan. L'exercice enchaîne la charge d'un condensateur, le calcul d'une capacité, puis deux vérifications sur le son : la rapidité du capteur et son domaine de mesure en décibels.

Questions 1 et 2 : l'équation différentielle et sa solution

La démonstration suit trois étapes : loi des mailles E = u_R + u_C, loi d'Ohm u_R = R i, puis i = dq/dt avec q = C u_C. On obtient du_C/dt + u_C/(RC) = E/(RC). Quand l'énoncé demande de montrer, passer par q = C u_C évite de perdre un point. À la question 2, « vérifier » ne veut pas dire résoudre : on dérive u_C(t) = E(1 − e^−t/τ), on reporte dans l'équation et on trouve la condition τ = RC. L'erreur classique est d'oublier le facteur −1/τ en dérivant l'exponentielle. L'analyse des unités montre que RC s'exprime en secondes.

Questions 3 et 4 : lecture de τ et capacité

À la date τ, la tension vaut 63 % de sa valeur finale : 0,63 × 200 = 126 V. On trace l'horizontale à 126 V sur la figure 3 et on lit τ ≈ 1,5 µs. Lire la date où la courbe atteint 200 V reviendrait à prendre environ 5τ. La méthode de la tangente à l'origine est acceptée mais moins précise. Avec R = 1,0 × 10⁵ Ω, on en déduit C = τ/R = 1,5 × 10⁻¹¹ F, soit 15 pF, à condition d'avoir converti τ en secondes.

Questions 5 et 6 : le condensateur plan

La capacité au repos se calcule par C₀ = ε_air × S/e. Avec e = 20,77 µm converti en mètres, on retrouve C₀ = 1,5 × 10⁻¹¹ F, en accord avec la question 4. Gardez deux chiffres significatifs, comme ε_air. Le paramètre qui varie avec le son est la distance e entre les armatures : lors d'une surpression, la membrane se rapproche de la plaque fixe, e diminue et la capacité augmente, puisqu'elle est inversement proportionnelle à e.

Questions 7 et 8 : le capteur face au son

Pour un son de 440 Hz, la période vaut T = 1/f = 2,27 × 10⁻³ s, environ 2000 fois le temps de réponse du capteur (de l'ordre de 1 µs). Le son peut donc être acquis fidèlement. Comparez les deux durées dans la même unité et donnez leur rapport. Enfin, le niveau d'intensité sonore L = 10 log(I/I₀) vaut 67 dB, compris entre 32 dB et 160 dB : le microphone peut le mesurer. Attention à la touche ln : elle donnerait 154 dB, une valeur encore dans le domaine, si bien que l'erreur passerait inaperçue.

Conseils pour cet exercice

Cet exercice récompense la rigueur plus que l'astuce. Rédigez la démonstration de l'équation différentielle étape par étape, laissez le trait de lecture sur la figure 3 et vérifiez systématiquement les unités : microsecondes, micromètres et picofarads sont les sources d'erreur principales. Les questions 6 à 8 sont courtes et rapportent des points même si le début a résisté.