L'expérience des trous de Young : démonstrations, mesure et incertitude
L'exercice 4 du sujet Asie 2022 (jour 1) est l'un des trois exercices de 5 points au choix, prévu pour environ 53 minutes. Une lumière laser traverse deux trous très proches et produit des franges sur un écran. L'exercice fait d'abord démontrer l'expression de l'interfrange, puis l'utilise pour mesurer la longueur d'onde et identifier le laser parmi cinq. Il demande à la fois de l'aisance en calcul littéral et de la rigueur sur les incertitudes.
Les passages clés, question par question
Q1 : la différence de marche dans l'air
Dans l'air, vair = c, donc l'indice vaut 1 et δ se réduit à S2M − S1M. Dans un milieu d'indice supérieur à 1, comme l'eau ou le verre, la différence de marche serait multipliée par n.
Q2 et Q3 : démontrer δ = x·b/D
Le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles donne (S1M)² = D² + (x − b/2)² et (S2M)² = D² + (x + b/2)². Le piège est l'inversion des signes : O1 est du côté de M, donc O1M est plus court que x. En développant la différence, les termes en x² et b²/4 s'éliminent et il reste 2xb. Avec la relation admise (S2M)² − (S1M)² = 2Dδ, on obtient δ = x·b/D. L'identité A² − B² = (A − B)(A + B) permet d'aller plus vite.
Q4 et Q5 : position des franges et interfrange
Au centre d'une frange brillante, les interférences sont constructives : δ = kλ avec k entier relatif, d'où x = kλD/b. L'interfrange, distance entre deux franges brillantes voisines, s'obtient par différence entre les ordres k + 1 et k : i = λD/b. Le résultat ne dépend pas de k, les franges sont régulièrement espacées.
Q6 : mesurer précisément l'interfrange
Sur la figure, les minima situés en −9,8 mm et +9,8 mm encadrent 5 interfranges : 5i = 19,6 mm, donc i = 3,92 mm. Mesurer plusieurs interfranges divise l'erreur de lecture d'autant. Le piège est de compter les franges au lieu des intervalles.
Q7 : la longueur d'onde
On isole λ = i·b/D, après avoir converti toutes les longueurs en mètres : i = 3,92 × 10-3 m, b = 2,0 × 10-4 m, D = 1,190 m. On trouve λ ≈ 6,6 × 10-7 m, soit environ 659 nm. Laisser i en millimètres ou D en centimètres fausse tout le résultat.
Q8 : quel laser ?
L'incertitude-type se calcule par la somme quadratique des incertitudes relatives sur b, i et D : u(λ) ≈ 37 nm. L'incertitude sur b, de 5 %, domine les deux autres. La mesure donne donc une longueur d'onde entre 622 nm et 696 nm : les trois lasers rouges, à 632 nm, 650 nm et 694 nm, sont compatibles, tandis que le vert et le bleu sont exclus. Le piège serait de ne retenir que le laser à 650 nm, le plus proche : la précision de la mesure ne permet pas de départager les trois rouges. Le rapport |λ − λréf|/u(λ), inférieur à 2 pour ces trois lasers, formalise cette conclusion.
Conseils pour réussir
Dans les démonstrations, écrivez chaque étape de développement : le correcteur attend de voir les termes s'éliminer. Faites un schéma pour placer correctement O1 et O2 par rapport à M. Pour la partie expérimentale, convertissez systématiquement en mètres et gardez une valeur non arrondie pour les calculs suivants. Enfin, une comparaison à une valeur de référence se conclut toujours à l'aide de l'incertitude, jamais à l'œil.