La pente d'eau de Montech : mécanique et optique dans un même exercice

L'exercice 2 du sujet Amérique du Nord 2022 (jour 2) compte 5 points, soit une cinquantaine de minutes. Il étudie la pente d'eau de Montech, un ouvrage qui fait monter les bateaux en poussant un volume d'eau le long d'un plan incliné, puis termine par la construction d'une lunette astronomique afocale. Trois parties se succèdent : la cinématique du système, l'application de la deuxième loi de Newton et l'optique.

Partie A : du graphique aux équations horaires

Accélération et vitesse (A.1)

On part de la définition du vecteur accélération comme dérivée du vecteur vitesse. L'égalité entre les normes, a = dv/dt, n'est pas générale : elle se justifie ici parce que le mouvement est rectiligne et que la vitesse ne diminue pas. Un mouvement circulaire uniforme est le contre-exemple à garder en tête.

Accélération constante et équations horaires (A.2 et A.3)

Entre 0 et 100 s, les points sont alignés sur une droite passant par l'origine : l'accélération, coefficient directeur de cette droite, est constante. Avec deux points bien choisis, on retrouve a₀ = 1,20 × 10^-2 m·s^-2, en gardant trois chiffres significatifs. Deux primitives successives donnent v(t) = a₀t puis x(t) = ½a₀t². Les points se gagnent sur les constantes d'intégration, fixées par les conditions initiales de l'énoncé.

Choisir la chronophotographie (A.4)

Avec des positions repérées à intervalles réguliers, les abscisses doivent être proportionnelles à 0, 1, 4, 9, 16, 25. Seule la chronophotographie C respecte cette suite. La B montre aussi une accélération constante, mais avec une vitesse initiale non nulle. Dire que les points s'écartent ne suffit pas : il faut un critère chiffré.

Partie B : les forces sur la pente

Construire la somme des forces (B.1)

Il faut associer chaque vecteur à une force : poids, réaction normale, force des automotrices et frottement. La deuxième loi de Newton impose une somme des forces dirigée comme l'accélération, donc vers le haut de la pente. En reportant les vecteurs bout à bout sur l'annexe, seul le schéma 1 convient. Choisir à l'œil sans citer la loi fait perdre l'essentiel des points.

Le palier de vitesse (B.2)

Entre 140 et 300 s, la vitesse reste égale à 1,44 m·s^-1 sur une trajectoire droite : le mouvement est rectiligne uniforme, l'accélération est nulle et les forces se compensent. Une somme nulle ne signifie pas absence de force : les automotrices poussent toujours.

Partie C : la lunette afocale

Objectif, oculaire et grossissement (C.1 et C.2)

L1, tournée vers le bateau, est l'objectif ; L2, côté œil, est l'oculaire. Le grossissement s'établit avec deux triangles rectangles et l'approximation des petits angles : G = f'₁/f'₂. Pour G = 6, seul le couple 30,0 cm et 5,0 cm convient. La lunette étant afocale, la distance entre les lentilles vaut 35,0 cm, ce qui fixe les graduations des tubes à faire coïncider. Inverser le rapport donnerait une lunette qui rapetisse.

Conseils pour réussir cet exercice

Citez toujours la loi utilisée et le référentiel, justifiez chaque constante d'intégration et appuyez vos choix sur un critère chiffré. En optique, un schéma propre avec les foyers placés rend le calcul du grossissement presque immédiat.