Un radar de contrôle de vitesses : le circuit RC au service du flash

L'exercice 3 du sujet Amérique du Nord 2022 (jour 2) vaut 5 points, soit une cinquantaine de minutes. Il part d'un excès de vitesse constaté par un cinémomètre qui émet deux flashs successifs, puis modélise le circuit du flash par un condensateur qui se charge à travers un conducteur ohmique. Les six questions vont de la simple conversion d'unités à une véritable résolution de problème.

Questions 1 et 2 : la sanction et le double flash

Convertir et lire le tableau (Q1)

La vitesse de 25 m·s^-1 se convertit en multipliant par 3,6 : 90 km·h^-1. Après la tolérance de 5 km·h^-1, la vitesse retenue est 85 km·h^-1 pour une limite de 80 km·h^-1. Le dépassement est inférieur à 20 km·h^-1 sur une route limitée à plus de 50 km·h^-1 : amende de 68 euros et retrait d'un point. Sans la tolérance, la ligne du tableau resterait la même.

Un seul éclair perçu (Q2)

Le second flash démarre au plus 52 ms après le premier, alors que la persistance rétinienne dure environ 70 ms. La comparaison doit être chiffrée et faite dans la même unité : citer la persistance rétinienne sans calcul ne suffit pas.

Questions 3 et 4 : l'équation différentielle et sa solution

Établir l'équation (Q3)

La démarche suit toujours les mêmes étapes : orienter le circuit, écrire la loi des mailles, la loi d'Ohm, puis la relation i = C du_C/dt. On élimine l'intensité et la tension du conducteur ohmique pour obtenir du_C/dt + u_C/(RC) = E/(RC). Oublier l'orientation rend les signes injustifiés.

Trouver A, B et τ (Q4)

On dérive la solution proposée et on la reporte dans l'équation. L'égalité devant être vraie à chaque instant, on obtient τ = RC et A = E. La condition initiale, condensateur déchargé, donne B = -E. Le piège classique est de répondre B = E, ce qui ferait partir la tension de 2E au lieu de 0 V.

Question 5 : lire la constante de temps

À t = τ, la tension atteint 63 % de sa valeur finale, soit 3,8 V pour E = 6,0 V. La courbe donne τ = 0,022 s, d'où C = τ/R = 4,7 × 10^-4 F, soit 470 µF. Lire le moment où la tension semble atteindre 6,0 V conduit à environ 5τ, pas à τ. La méthode de la tangente à l'origine est une alternative.

Question 6 : le dispositif tient-il les 52 ms

C'est la question de résolution de problème. Le délai entre les débuts des deux flashs est la somme de la durée de décharge, 8,0 ms, et de la durée de recharge. Celle-ci s'arrête quand l'énergie stockée atteint 7,0 × 10^-3 J, ce qui correspond à une tension de 5,5 V, atteinte vers 37 ms sur la courbe de recharge. Le total, environ 45 ms, reste inférieur à 52 ms : le dispositif convient. Les erreurs fréquentes sont de laisser la capacité en microfarads ou d'oublier la durée de décharge.

Conseils pour réussir cet exercice

Connaissez par cœur la mise en équation d'un circuit RC et la méthode des 63 %. Dans une résolution de problème, annoncez la grandeur cherchée, découpez le calcul en étapes et concluez toujours par une comparaison chiffrée avec la valeur imposée.