Modéliser un service au tennis : un exercice de mécanique sur 5 points

L'exercice 3 du bac 2022 de physique-chimie en Nouvelle-Calédonie (jour 2) vaut 5 points, soit environ 53 minutes. Il applique un modèle classique, la chute libre avec vitesse initiale horizontale, à un service au tennis. La partie A établit les équations du mouvement, la partie B en tire les vitesses permettant un service valide, et la partie C confronte le modèle à des mesures réelles par une étude énergétique. C'est un exercice de méthode, très proche du cours, où la rigueur de la rédaction rapporte l'essentiel des points.

Cadre de l'étude et deuxième loi de Newton (A.1 et A.1.1)

On étudie la balle, assimilée à son centre de masse, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. L'action de l'air étant négligée, elle n'est soumise qu'à son poids. Les conditions initiales sont x(0) = 0, y(0) = H, v_x(0) = v₀ et v_y(0) = 0. La loi de Newton doit être énoncée en toutes lettres, référentiel galiléen compris ; elle donne a = g, soit a_x = 0 et a_y = -g. Oublier le signe moins fausse toute la suite.

Vitesse, position et trajectoire (A.1.2 à A.2)

On passe de l'accélération à la vitesse, puis à la position, en prenant à chaque fois une primitive et en fixant la constante par la condition initiale correspondante. On obtient v_x = v₀, v_y = -g·t, puis x = v₀·t et y = -g·t²/2 + H. L'oubli de la constante H est l'erreur typique : la balle part du point de frappe, pas de l'origine du repère. En éliminant le temps, on retrouve l'équation de la trajectoire, un arc de parabole dont le sommet est le point de frappe.

Vitesses extrêmes d'un service valide (B.1 à B.3)

En isolant v₀ dans l'équation de la trajectoire, on obtient v₀ = x·√(g / (2(H - y))). Les documents donnent ensuite les coordonnées des points clés : le sommet du filet C (11,90 m ; 0,91 m) et le point D de la ligne de service adverse (18,30 m ; 0 m). Deux pièges guettent ici : prendre 1,07 m, hauteur du filet aux poteaux, et placer D sur la ligne de fond. Avec H = 2,6 m, le passage juste au-dessus du filet impose v_0min = 20 m·s^-1, et l'arrivée sur la ligne de service v_0max = 25 m·s^-1. Le filet fixe donc la vitesse minimale et la ligne de service la vitesse maximale.

Critiquer le modèle (B.4)

Un service réel est bien plus rapide que ces valeurs et pourtant valide. C'est que les hypothèses du modèle ne tiennent pas : la balle est frappée vers le bas, l'air la freine, et sa rotation modifie la trajectoire. La bonne méthode consiste à reprendre une à une les hypothèses et à dire dans quel sens chacune, si elle est fausse, modifie le résultat.

Étude énergétique du mouvement réel (C)

Si l'air était négligeable, l'énergie mécanique se conserverait. On calcule donc E_m = m·v²/2 + m·g·y avec m = 0,058 kg : elle vaut 68 J à t = 0 et 37 J à t = 0,27 s. Elle diminue sans cesse et perd près de la moitié de sa valeur : les frottements de l'air ne sont pas négligeables. Laisser la masse en grammes, ou se contenter de dire que la vitesse diminue, ne suffit pas à justifier la conclusion.

Conseils pour réussir cet exercice

Écrivez les conditions initiales avant de chercher les primitives, et notez chaque constante d'intégration. Faites un schéma du court pour placer C et D sans confusion. Enfin, gardez deux chiffres significatifs, comme H = 2,6 m, la donnée la moins précise.