Un tracteur gravitationnel pour dévier un astéroïde : analyse du corrigé

Cet exercice de mécanique, noté sur 5 points, imagine une méthode de défense planétaire : un engin spatial placé près de l'astéroïde Apophis l'attire par la seule force gravitationnelle et modifie légèrement sa vitesse, donc son orbite. Il mobilise la loi de gravitation, la deuxième loi de Newton et la troisième loi de Kepler, avec un soin particulier à apporter aux chiffres significatifs.

Questions 1 à 3 : force et variation de vitesse

La force exercée par l'engin E sur l'astéroïde A part de A, est portée par la droite (AE) et dirigée vers E. Tracer la flèche depuis E reviendrait à représenter la force subie par l'engin. Le vecteur variation de vitesse se construit en reliant la pointe du vecteur vitesse initial à celle du vecteur vitesse final : il est tangent à la trajectoire, dans le sens du mouvement. La deuxième loi de Newton indique que la force et la variation de vitesse ont même direction et même sens : l'engin doit donc être placé dans la direction de ΔV, devant l'astéroïde.

Question 4 : valeur de la force

L'expression F = G M m / d² donne, avec les données, environ 0,2 N. Les masses n'étant connues qu'avec un chiffre significatif, le résultat ne s'écrit qu'avec un seul chiffre. Oublier le carré de la distance conduit à une valeur 240 fois trop grande.

Questions 5 et 6 : durée d'utilisation du tracteur

En appliquant la deuxième loi de Newton à Apophis dans le référentiel héliocentrique, on égalise G M m / d² et M ΔV / Δt. La masse de l'astéroïde se simplifie, ce qui donne Δt = ΔV × d² / (G × m). Le calcul fournit environ 3 × 10⁵ s, soit à peu près 4 jours. Le corrigé signale un piège subtil : convertir à partir de la valeur arrondie donne 3,5 jours, il faut garder la valeur non arrondie de la calculatrice.

Question 7 : établir la troisième loi de Kepler

« Établir » exige une démonstration complète : système, référentiel, force du Soleil dans le repère de Frenet, accélération normale v²/R pour un mouvement circulaire uniforme, puis v = 2πR/T. On aboutit à T²/R³ = 4π²/(G M_S). Se contenter d'affirmer que le rapport est constant ne rapporte pas les points.

Questions 8 et 9 : la nouvelle orbite

La période augmente de 15 minutes, soit 900 s : T' = 2,79463 × 10⁷ s, environ 323,452 jours. L'écart n'apparaît qu'au cinquième chiffre, d'où la nécessité de conserver six chiffres significatifs. La troisième loi de Kepler, appliquée avant et après, donne R' = R × (T'/T)^2/3 = 1,37964 × 10¹¹ m, et une augmentation du rayon ΔR = 3 × 10⁶ m, soit trois mille kilomètres.

Pièges et conseils

Les deux erreurs les plus coûteuses de la fin d'exercice sont d'arrondir R' trop tôt, ce qui donne ΔR = 0, et d'utiliser l'exposant 3/2 au lieu de 2/3. Plus largement, entraînez-vous à rédiger la démonstration de Kepler toujours dans le même ordre : c'est un classique du programme de terminale.