Anatomie d'un condensateur : un exercice d'électricité sur 5 points
L'exercice 4 du bac 2022 de physique-chimie en Nouvelle-Calédonie (jour 2) vaut 5 points, soit environ 53 minutes. Il étudie un condensateur du commerce en deux temps. La partie A détermine sa capacité par la charge dans un circuit RC série ; la partie B modélise sa structure, un empilement de condensateurs plans élémentaires, et confronte le résultat à l'indication du fabricant à l'aide des incertitudes. La première partie est très proche du cours, la seconde demande davantage d'autonomie.
Schéma orienté et loi des mailles (A.1 et A.2)
Le courant sort de la borne positive du générateur et traverse l'interrupteur, le conducteur ohmique puis le condensateur. Les tensions uR et uC se fléchent en convention récepteur, en sens opposé au courant. Ce choix n'est pas un détail : s'il est inversé, les relations uR = R·i et i = C·duC/dt changent de signe. La loi des mailles donne alors E = uR + uC.
Équation différentielle et constante de temps (A.3 à A.5)
Avec q = C·uC, l'intensité s'écrit i = C·duC/dt. En reportant la loi d'Ohm et cette expression dans la loi des mailles, puis en divisant par R·C, on obtient l'équation différentielle demandée avec τ = R·C. Cet enchaînement est toujours le même pour un circuit RC et mérite d'être su par cœur. Pour montrer que τ est une durée, on remarque que tous les termes de l'équation ont la même unité, le volt par seconde : uC/τ aussi, donc τ s'exprime en secondes.
Lecture graphique et capacité (A.6)
À la date τ, la tension atteint 63 % de sa valeur finale, ici 0,63 × 12 V = 7,6 V. On trace l'horizontale correspondante jusqu'à la courbe, puis la verticale jusqu'à l'axe des temps : τ ≈ 0,9 ms. La tangente à l'origine fournit une seconde construction, moins précise. La capacité vaut alors C = τ / R = 3,0 × 10-8 F, soit 30 nF, proche des 33 nF annoncés. Le piège classique est de laisser τ en millisecondes ou R en kilo-ohms.
Condensateur plan et empilement (B.1 et B.2)
D'après C = ε·S/a, la capacité est proportionnelle à la surface des armatures et inversement proportionnelle à l'épaisseur de l'isolant. Pour l'empilement de n condensateurs, chaque élément a une surface L × h et une épaisseur a = e/n ; comme C = n·C0, on obtient C = n2·ε·L·h / e. Oublier que a dépend de n est l'erreur la plus fréquente. Avec les dimensions du tableau converties en mètres, on trouve n ≈ 279 condensateurs élémentaires, soit des couches d'isolant d'environ 22 µm.
Comparer à l'indication du fabricant (B.2.3)
Le fabricant annonce 300 armatures, ce qui délimite 299 condensateurs élémentaires et non 300. L'écart avec 279 se discute grâce aux incertitudes du tableau : en combinant les valeurs extrêmes de C, e, L et h, on encadre n entre 252 et 309. Comme 299 est dans cet intervalle, l'indication du fabricant est compatible avec le modèle. L'incertitude de 0,5 mm sur des dimensions de quelques millimètres explique la largeur de l'encadrement.
Conseils pour réussir cet exercice
Soignez le schéma de la première question, car toute la suite en dépend. Laissez visibles les traits de construction sur l'annexe. Dans la partie B, convertissez systématiquement les millimètres en mètres et les nanofarads en farads avant tout calcul, et pensez à la racine carrée pour trouver n.