Un capteur capacitif pour mesurer une épaisseur de colle
L'exercice 2 du sujet de Polynésie 2022 (jour 2) est l'un des trois exercices de 5 points, à traiter en 53 minutes environ. Il part d'une application industrielle : deux plaques collées forment un condensateur plan, et la mesure de sa capacité renseigne sur l'épaisseur de la colle. Pour y parvenir, l'exercice déroule pas à pas l'étude de la charge d'un condensateur dans un circuit RC, une méthode incontournable du programme de terminale.
Les questions 1 à 5 : établir et vérifier l'équation différentielle
Les trois relations de base
Interrupteur fermé, la loi des mailles donne E = uR + uC. La loi d'Ohm s'écrit uR = R i en convention récepteur, et le condensateur vérifie i = C duC/dt, puisque l'intensité est le débit de charge et que q = C uC. Ces relations ne sont justes que si les orientations du courant et des tensions sont respectées : le corrigé insiste sur ce point, car un signe faux à ce stade fausse tout le reste.
L'équation et sa solution
En reportant i dans la loi d'Ohm puis dans la loi des mailles, on obtient RC duC/dt + uC = E, qu'il suffit de diviser par RC. La question 5 demande seulement de vérifier que uC = E(1 − e−t/RC) convient : on dérive, on reporte, les exponentielles s'éliminent et l'on retrouve E/RC. Il faut aussi contrôler la condition initiale uC(0) = 0. Le piège est le signe de la dérivée de l'exponentielle : les deux signes moins se compensent.
Les questions 6 à 8 : du graphique à la capacité
La tension finale lue sur le palier vaut 5,0 V ; 63 % de cette valeur donnent 3,15 V, atteints vers t ≈ 10 ns. Attention à ne pas prendre 63 % de la hauteur de l'axe. Avec τ = RC et R = 330 Ω, on trouve C = 3,0 × 10-11 F, soit 30 pF. La conversion des nanosecondes en secondes est indispensable : sans elle, le résultat serait un milliard de fois trop grand.
Les questions 9 à 11 : le condensateur plan
À partir de C = εS/d, on isole ε et on remplace chaque grandeur par son unité : la permittivité s'exprime en F·m-1. Comme la distance d est au dénominateur, rapprocher les armatures fait augmenter la capacité. La dernière question, plus ouverte, demande d'expliquer le contrôle de l'épaisseur : on enregistre la charge, on lit τ, on calcule C = τ/R, puis d = εS/C. Le corrigé souligne qu'écrire seulement « on mesure C » ne suffit pas : il faut décrire la mesure et relier la capacité à l'épaisseur. Une couche trop épaisse donne une capacité plus faible et une charge plus rapide.
Conseils pour réussir ce type d'exercice
Retenez l'enchaînement loi des mailles, loi d'Ohm, relation du condensateur, puis division par RC : il revient à l'identique dans la plupart des sujets sur le circuit RC. Pour une lecture graphique, tracez les traits de construction et donnez deux chiffres significatifs au plus. Enfin, pour les questions de justification, rédigez une démarche en étapes numérotées : c'est la meilleure façon de montrer que chaque lien du raisonnement est maîtrisé.