Un exercice de 10 points entre énergie et trajectoire

L'exercice 1 du sujet 1 de Métropole (mars 2021) s'appuie sur le cornhole, un jeu d'adresse où l'on lance un sac de 440 g vers une planche percée d'un trou placée à 8 m. C'est l'exercice principal de l'épreuve : 10 points, soit environ 1 h 45 sur les 3 h 30. Il se découpe en deux parties. La première exploite un programme Python et des courbes d'énergie, la seconde reprend le mouvement avec la deuxième loi de Newton pour prévoir le point de chute du sac.

Partie 1 : lire un programme et des courbes d'énergie

Questions 1.1 et 1.2.1 : identifier les grandeurs

Les lignes 15 à 18 du programme calculent successivement la vitesse v (racine de la somme des carrés de v_x et v_z), l'énergie cinétique, l'énergie potentielle de pesanteur et l'énergie mécanique. Il faut savoir que **2 élève au carré et que **(1/2) prend la racine. Pour attribuer les séries de la figure 3, l'énergie potentielle est la seule qui croît pendant la montée. Le piège vient des deux séries décroissantes : c'est la somme des deux autres courbes qui désigne l'énergie mécanique, la plus haute.

Questions 1.2.2 à 1.2.4 : exploiter les valeurs

Sans action de l'air, l'énergie mécanique serait constante. Or elle passe d'environ 21,6 J à 19,3 J en 0,53 s : l'air exerce un travail résistant non négligeable. On estime ensuite la vitesse initiale à partir de E_c0 ≈ 17,8 J, ce qui donne v₀ ≈ 9,0 m/s, à condition d'exprimer la masse en kilogrammes. L'énergie potentielle initiale, 3,8 J, conduit à H ≈ 0,88 m, une hauteur de main cohérente avec la figure 1 du sujet.

Partie 2 : le mouvement dans le champ de pesanteur

Questions 2.1 à 2.3 : de l'accélération à la parabole

La rédaction attendue suit un ordre fixe : système, référentiel terrestre supposé galiléen, bilan des forces réduit au poids, deuxième loi de Newton. On obtient a_x = 0 et a_z = −g, le signe venant de l'axe orienté vers le haut. Deux intégrations donnent les équations horaires ; chaque constante se fixe par une condition initiale, et l'oubli classique est la constante H, puisque le sac ne part pas de l'origine. En éliminant le temps, on retrouve l'équation de la trajectoire, un polynôme du second degré : c'est une parabole tournée vers le bas.

Questions 2.4 à 2.6 : prévoir le score

Le joueur peut agir sur v₀, sur l'angle α et sur la hauteur H, mais pas sur g ; la masse n'intervient pas. Pour le premier lancer, on résout z(x) = 0 et l'on garde la racine positive : le sac retombe à 8,63 m. Le piège est de comparer cette valeur aux cotes de la planche sans ajouter la distance de 8,0 m. Le sac tombe entre le bord de la planche et le trou : 1 point. La dernière question est ouverte. Par identification, tan α = 0,625 et H = 0,880 m, puis on vise le centre du trou à 8,99 m : on trouve v₀ ≈ 9,2 m/s, toute valeur entre 9,16 et 9,26 m/s convenant. Il ne faut pas réutiliser le coefficient 0,0842, qui contient l'ancienne vitesse.

Conseils pour réussir cet exercice

Annoncez les étapes de la question ouverte avant de calculer : une démarche lisible rapporte des points même si le calcul n'aboutit pas. Vérifiez toujours l'ordre de grandeur d'un résultat, comme une vitesse de 0,28 m/s qui trahit une masse restée en grammes. Enfin, reliez les deux parties : le modèle sans frottement de la partie 2 néglige l'action de l'air que la partie 1 a mise en évidence, ce qui explique qu'il faille en réalité lancer un peu plus fort.