Un exercice de mécanique sur un sport basque

L'exercice 3 du sujet 1 de Métropole, septembre 2021, vaut 5 points, soit environ 53 minutes. Il s'appuie sur la cesta punta, où le joueur lance une balle contre un mur avec un gant en osier. L'exercice est très classique dans sa structure : chute libre et équations horaires, puis étude énergétique, enfin trajectoire après le rebond. C'est un bon entraînement pour vérifier sa maîtrise du chapitre sur le mouvement dans un champ de pesanteur.

Partie 1 : la balle jusqu'au mur

Question 1.1 : le modèle de la chute libre

L'énoncé indique que la seule force exercée sur la balle est son poids : c'est la définition même de la chute libre.

Question 1.2 : l'équation horaire selon Ox

La deuxième loi de Newton donne une accélération égale à g, verticale. Selon Ox, l'accélération est nulle, la vitesse est constante et vaut v₀ cos(α). Par intégration, x(t) = v₀ cos(α) t − D. Le terme −D vient de la condition initiale : la balle part de x₀ = −D. L'oublier, ou prendre la constante nulle par habitude, est l'erreur la plus fréquente.

Question 1.3 : la date d'impact

La balle frappe le mur quand x = 0, d'où t_F = D / (v₀ cos(α)). Avec D = 36 m, v₀ = 36,2 m·s⁻¹ et α = 12°, on trouve 1,0 s. Vérifiez que la calculatrice est en mode degré : en radians, on obtiendrait 1,2 s.

Partie 2 : l'étude énergétique

Questions 2.1 et 2.2 : expressions et calcul

L'énergie mécanique est la somme de l'énergie cinétique ½ m v² et de l'énergie potentielle de pesanteur m g y. Avec m = 126 g, convertie en 0,126 kg, l'énergie cinétique initiale vaut 82,6 J.

Questions 2.3 et 2.4 : lire les courbes

En chute libre, l'énergie mécanique se conserve : c'est la courbe horizontale, la courbe 1. La courbe 2 est l'énergie cinétique et la courbe 3 l'énergie potentielle, qui augmente puis diminue avec l'altitude. La hauteur H se lit sur l'énergie potentielle à t_F = 1,0 s : environ 4,9 m. Le piège est de lire au maximum de la courbe, qui correspond au sommet de la trajectoire.

Partie 3 : après le rebond

Questions 3.1 et 3.2 : vitesse et coefficient en t²

À partir des équations horaires après le rebond, on calcule les deux coordonnées de la vitesse au point F, puis sa norme : 35,0 m·s⁻¹, en accord avec la valeur de l'énoncé. Ne garder que la composante horizontale donnerait 34,9 m·s⁻¹. Le coefficient −4,9 du terme en t² vaut −g/2 et s'exprime en m·s⁻².

Question 3.3 : le service est-il réussi ?

On résout y = 0 dans l'équation de la trajectoire, une équation du second degré. Attention au signe du discriminant : a est négatif, donc −4ac est positif. La solution utile, x = −27 m, est comprise entre les lignes situées à −28 m et −16 m : le service est réussi. Il faut écrire cette comparaison pour répondre vraiment à la question.

Conseils pour réussir

Écrivez toujours les conditions initiales avant d'intégrer, travaillez en unités du Système international et vérifiez le mode de la calculatrice. Sur les graphiques, repérez la date demandée avant toute lecture.