Mécanique céleste et chute libre autour de la Lune

L'exercice 3 du bac 2021 de Polynésie, noté sur 5 points, compte pour environ 55 minutes. Il s'appuie sur un projet d'installation humaine sur la Lune et comporte deux volets : l'étude d'un satellite lunostationnaire en mouvement circulaire, puis la descente d'un alunisseur. Le raisonnement est classique, mais l'exercice exige beaucoup de rigueur dans les schémas, les signes et les vecteurs.

Le satellite lunostationnaire

Définition et force gravitationnelle

Un satellite lunostationnaire a une période de révolution égale à la période de rotation de la Lune sur elle-même, soit 27,3 jours. Le corrigé précise que cette égalité ne suffit pas : l'orbite doit aussi être équatoriale et parcourue dans le sens de rotation de la Lune. La force exercée par la Lune s'applique au satellite S et pointe vers le centre de la Lune ; la dessiner à partir de L est une erreur fréquente. Son expression vectorielle porte un signe moins, car le vecteur unitaire est orienté de la Lune vers le satellite.

De la loi de Newton au repère de Frenet

La deuxième loi de Newton donne une accélération qui ne dépend pas de la masse du satellite. La rédaction attendue annonce le système, le référentiel supposé galiléen et le bilan des forces. On représente ensuite les vecteurs T, tangent au cercle dans le sens du mouvement, et N, dirigé vers le centre. Dans ce repère, l'accélération s'écrit G M_L/d_LS² selon N : elle est centripète, et garder le signe moins devant N serait une erreur.

Vitesse constante et altitude

La coordonnée tangentielle de l'accélération est nulle, donc la vitesse est constante. Dire « l'accélération est constante, donc la vitesse aussi » ne convient pas, puisque le vecteur accélération change de direction. L'identification de la coordonnée normale conduit à v = √(G M_L/d_LS). La question de synthèse combine cette expression avec T = 2πd_LS/v pour retrouver l'altitude. Le calcul donne 8,66 × 10⁷ m, en accord avec la valeur annoncée de 8,67 × 10⁷ m, à l'arrondi près. Deux pièges : convertir la période en secondes, et retrancher le rayon de la Lune, car le rayon de l'orbite n'est pas l'altitude.

La descente de l'alunisseur

Vecteurs et équation horaire

Au point O, la vitesse horizontale est dirigée vers la droite, tandis que la vitesse verticale et le champ de pesanteur lunaire sont dirigés vers le bas. Il faut ensuite justifier les signes de l'équation y(t) = −½ g_L t² − v_0y t + y₀ : deux termes négatifs, liés à la pesanteur et à la vitesse initiale vers le bas, et un terme positif, l'altitude de départ. La subtilité tient à la différence entre norme et coordonnée : ici v_0y désigne une norme, d'où le signe moins écrit devant.

Chute libre ou pas

L'équation horaire horizontale et le point d'impact lu sur la figure, vers 366 m, donnent une durée de descente d'environ 19 s en chute libre. Or la trajectoire incontrôlée dure 30 s : l'alunisseur n'est pas en chute libre. Le corrigé propose une vérification complémentaire en calculant l'abscisse atteinte au bout de 30 s, bien au-delà de 366 m.

Conseils pour cet exercice

Faites des schémas soignés : point d'application, direction et sens des vecteurs sont évalués. Menez les calculs littéraux jusqu'au bout et faites une seule application numérique, en unités du système international. Vérifiez enfin la cohérence de vos résultats avec les valeurs fournies par l'énoncé : un écart de quelques millièmes vient des arrondis, un écart important signale une erreur de conversion.