Un exercice d'ondes appliqué à la navigation

L'exercice 3 du bac S 2019 Liban (ancien programme) vaut 5 points et se traite en 50 minutes environ ; il concerne les candidats de l'enseignement obligatoire. Il décrit un radar de navire dont la fréquence émise varie régulièrement dans le temps. Trois parties se succèdent : la mesure d'une distance par écho, l'effet Doppler, puis la transmission du signal et son atténuation. Les calculs sont courts ; la difficulté est dans la lecture des documents et la gestion des unités.

Partie 1 : localiser un bateau

Question 1.1 : la relation distance-durée

L'onde va jusqu'au bateau et revient : elle parcourt 2d pendant Δt, d'où d = cΔt/2. Oublier le facteur 2 fausse toute la suite.

Questions 1.2 et 1.3 : lire l'instant d'émission

Sur le document 1, la fréquence croît de 9335 à 9365 MHz en 0,50 ms. L'onde de 9344 MHz a donc été émise à 0,15 ms, ce que l'on peut retrouver par proportionnalité si la lecture graphique est délicate. L'écho étant reçu à 0,43 ms, l'aller-retour dure 0,28 ms, et la distance vaut 42 km. Il faut convertir les millisecondes en secondes et garder deux chiffres significatifs.

Question 1.4 : identifier le bateau

Converti en miles nautiques, le résultat donne environ 23 mn. Les cercles de l'écran étant espacés de 9 mn, le bateau cherché se trouve entre le deuxième et le troisième cercle : c'est le bateau 1. La démarche doit être explicitée, comme le demande l'énoncé.

Question 1.5 : la portée maximale

Le raisonnement est plus subtil : la fréquence reprend les mêmes valeurs toutes les 0,50 ms. Si l'aller-retour durait davantage, une même fréquence reçue correspondrait à plusieurs instants d'émission. La durée maximale est donc la période, d'où une portée de 75 km, environ 40 mn, du même ordre que les 36 mn annoncées par le constructeur, qui garde une marge.

Partie 2 : l'effet Doppler

Questions 2.1 et 2.2 : décalage nul et vitesse limite

Le décalage Doppler est proportionnel à |cos θ| : il est toujours nul pour θ = 90°, quand la cible est exactement par le travers. Pour θ = 0°, on isole la vitesse dans la formule donnée et l'on trouve une vitesse relative maximale de 24 m/s, environ 87 km/h. Le piège est de mélanger kHz et MHz : les deux fréquences doivent être en hertz.

Partie 3 : propagation et atténuation

Questions 3.1 et 3.2 : nature de la propagation et longueur d'onde

L'onde radar se propage dans l'air sans support matériel pour la guider : la propagation est libre. La longueur d'onde vaut c/f₀, soit 3,21 cm, ce qui désigne la courbe à utiliser dans le document 3.

Question 3.3 : la puissance reçue est-elle détectable ?

Il faut poser des hypothèses : cible à la distance maximale, atténuation sur l'aller et le retour, soit L = 72 mn. On lit un coefficient d'atténuation d'environ 0,95 dB par mile nautique, puis on inverse la relation logarithmique : la puissance reçue vaut environ 2,4 × 10^-5 mW, très au-dessus du minimum détectable. La lecture sur axes logarithmiques est approximative, mais la marge est si grande que la conclusion ne change pas. Notez que propagation guidée et atténuation linéique relevaient de l'ancien programme.

Conseils

Annotez les graphiques, convertissez chaque grandeur avant de l'utiliser et écrivez vos hypothèses quand le sujet est ouvert. Le corrigé détaillé montre chaque lecture graphique et chaque calcul.