La physique nucléaire au service de l'imagerie médicale

L'exercice 2 du bac 2026 Polynésie Jour 1 vaut 5 points, soit environ 53 minutes. Il porte sur la scintigraphie cardiaque au thallium 201, un isotope injecté au patient pour visualiser le cœur. C'est un exercice classique de radioactivité, qui fait aussi appel à l'énergie d'un photon et à la radioprotection. Les calculs sont courts, mais les conversions d'unités décident souvent de la note.

Partie 1 : le rayonnement émis

Question 1 : identifier la désintégration

La particule émise a un nombre de masse nul et un nombre de charge égal à +1 : c'est un positon, la désintégration est de type β+. Le piège est de la confondre avec l'électron, de nombre de charge -1. On peut vérifier au passage la conservation du nombre de masse (201 = 201 + 0) et du nombre de charge (81 = 80 + 1).

Questions 2 et 3 : longueur d'onde et domaine

De E = hc/λ on tire λ = hc/E. L'énergie de 135 keV doit d'abord être convertie en joules, en passant par les électronvolts : on obtient 2,16 × 10^-14 J, puis λ = 9,21 × 10^-12 m. Pour situer ce rayonnement, il faut comparer à la limite de 10^-11 m en écrivant les deux valeurs avec la même puissance de dix : la longueur d'onde est juste en dessous, ce sont des rayons γ.

Question 4 : se protéger

Une seule méthode est demandée : interposer un écran dense comme le plomb ou le béton. S'éloigner de la source ou réduire la durée d'exposition sont aussi des réponses acceptées.

Partie 2 : la décroissance radioactive

Questions 5 à 7 : de l'activité à l'équation différentielle

L'activité s'écrit A(t) = -dN/dt. Oublier le signe moins est l'erreur la plus fréquente : N(t) décroît, sa dérivée est négative, alors qu'une activité est positive. En égalant les deux expressions de l'activité, on obtient dN/dt + λN = 0. Pour vérifier que N(t) = N₀e^-λt est solution, il suffit de dériver, de reporter dans l'équation et de constater l'égalité, sans oublier la condition initiale N(0) = N₀.

Question 8 : constante radioactive

À partir de N(t_1/2) = N₀/2, on établit λ = ln 2 / t_1/2. Avec une demi-vie de 3,04 jours convertie en secondes, on retrouve λ = 2,64 × 10^-6 s^-1. Laisser la demi-vie en jours donne un résultat dans une autre unité.

Questions 9 et 10 : exploiter la loi de décroissance

Deux heures après l'injection, l'activité vaut encore 77 MBq sur 78 MBq : elle n'a baissé que d'environ 2 %, ce qui est prévisible car deux heures sont très courtes devant la demi-vie. La durée pour atteindre 1 % de l'activité initiale vaut ln 100 / λ, soit 20,2 jours. Ce délai d'environ trois semaines justifie de boire beaucoup d'eau : l'élimination urinaire du thallium réduit l'exposition du patient et de son entourage.

Les pièges à éviter

Presque toutes les erreurs viennent des unités : keV non convertis, demi-vie laissée en jours, durée en heures dans l'exponentielle alors que λ est en s^-1. Soignez aussi les chiffres significatifs : trois pour la longueur d'onde, deux pour l'activité restante, car A₀ n'en a que deux. Enfin, la question 10 demande un résultat en jours : la conversion finale fait partie de la réponse.