Le canon de Paris : un grand classique de mécanique

L'exercice 3 du Bac S Amérique du Sud 2019, sur 5 points, prend pour support le canon de Paris, une pièce d'artillerie géante de la Première Guerre mondiale. Il se traite en une cinquantaine de minutes et suit une progression très typique du bac : conservation de la quantité de mouvement, deuxième loi de Newton, équations horaires, trajectoire, puis confrontation du modèle aux données réelles. Cet exercice était destiné aux candidats qui ne suivaient pas l'enseignement de spécialité.

Partie 1 : le recul du canon

Question 1.1 : un système pseudo-isolé

Pendant le tir, le système {tube du canon + obus} est pseudo-isolé. La deuxième loi de Newton, écrite avec la dérivée de la quantité de mouvement, montre que celle-ci se conserve.

Questions 1.2 et 1.3 : la vitesse de recul

La quantité de mouvement est nulle avant le tir, donc elle reste nulle après : le tube part en sens opposé à l'obus. Avec un tube de 100 tonnes, un obus de 105 kg et une vitesse d'éjection de 1600 m/s, la vitesse de recul vaut environ 1,7 m/s. Le piège : laisser la masse en tonnes, ou prendre les 750 tonnes du canon monté au lieu du tube seul. Avec un tube dix fois plus léger, le recul serait dix fois plus rapide, environ 17 m/s : la masse importante du tube limite le recul. Cette partie relève de l'ancien programme, la quantité de mouvement n'étant plus au programme actuel de spécialité.

Partie 2 : le mouvement de l'obus

Question 2.1 : le vecteur accélération

La démarche se rédige toujours dans le même ordre : système, référentiel galiléen, bilan des forces, deuxième loi de Newton. Le poids étant la seule force retenue, l'accélération est égale à g. L'axe vertical étant orienté vers le haut, on obtient a_x = 0 et a_y = -g. Écrire +g est une erreur fréquente.

Question 2.2 : les équations horaires

Deux intégrations successives donnent la vitesse puis la position. Chaque constante d'intégration se détermine par une condition initiale écrite explicitement : la vitesse initiale de coordonnées v₀cos(α) et v₀sin(α), puis la position à l'origine. Oublier de justifier les constantes fait perdre des points même si le résultat est connu.

Question 2.3 : l'équation de la trajectoire

On isole t dans x(t), puis on remplace dans y(t). L'équation obtenue est de la forme y = ax² + bx avec a négatif : la trajectoire est une portion de parabole tournée vers le bas.

Partie 3 : le modèle face à la réalité

Question 3.1 : durée du vol et portée

L'obus retombe lorsque y(t) = 0. La solution non nulle donne une durée de vol d'environ 2,5 × 10² s, et la portée vaut environ 2,6 × 10² km. Attention au mode de la calculatrice : en radians, sin(50) est négatif et le résultat n'a plus de sens.

Question 3.2 : l'altitude maximale

Au sommet, seule la composante verticale de la vitesse s'annule ; l'obus garde sa vitesse horizontale. La date du sommet, environ 125 s, est la moitié de la durée du vol, ce qui constitue un bon contrôle. L'altitude maximale atteint environ 77 km.

Question 3.3 : expliquer l'écart

Les valeurs mesurées, 176 s, 126 km et 42 km, sont nettement inférieures aux valeurs du modèle. L'écart s'explique par les frottements de l'air, négligés dans le modèle alors qu'ils sont considérables à une telle vitesse.

Conseils

Rédigez la deuxième loi de Newton de façon complète, contrôlez les signes avec l'orientation des axes et gardez les valeurs non arrondies dans les calculs intermédiaires. Les parties 2 et 3 restent parfaitement d'actualité pour le programme de terminale.