Un danseur et l'effet Doppler : ce que demande l'exercice

Le troisième exercice du Bac S 2016 Amérique du Sud, noté sur 5 points, part d'une dispute sur scène. Alice, au piano, affirme avoir joué la même note pendant toute la fin de l'acte ; Kilian, le danseur, assure l'avoir entendue changer pendant son grand jeté. L'exercice demande d'abord d'étudier le saut à l'aide de documents (courbe de la trajectoire, plan de la scène), puis d'appliquer l'effet Doppler, et enfin de comparer le décalage obtenu au seuil de perception de l'oreille. C'est un exercice court, très guidé, où la lecture des documents compte autant que les calculs.

Les passages clés, question par question

Partie 1 : la vitesse du grand jeté

La distance horizontale parcourue se lit sur l'axe des abscisses de la courbe z = f(x) : le saut commence en x = 0 et se termine en x = 2,15 m, donc d = 2,15 m. Le plan de la scène à l'échelle 1/120 permet de vérifier cette valeur à la règle. Avec une durée de saut de 0,710 s, la vitesse horizontale moyenne vaut v = d/Δt ≈ 3,03 m·s^-1, une valeur réaliste pour un danseur lancé.

Partie 2 : la fréquence perçue par Kilian

Le tableau chronologique montre qu'Alice ne joue que des La3 pendant le saut ; le tableau des fréquences donne 440 Hz. Le piano, immobile, est l'émetteur ; Kilian, en mouvement, est le récepteur. Le plan montre qu'il s'éloigne du piano : la fréquence perçue est plus faible et s'écrit f_R = f_E × v_son/(v_son + v_R). Avec v_son = 340 m·s^-1, on obtient f_R ≈ 436 Hz.

Ce décalage d'environ 4 Hz est-il audible ? Ce qui compte pour l'oreille, c'est la variation relative Δf/f = v_R/(v_son + v_R) ≈ 8,8 × 10^-3. Le seuil d'une oreille entraînée vaut 1/1000 : la variation le dépasse largement, Kilian perçoit un son plus grave. Pour une oreille moyenne, la courbe de Weber-Fechner donne un seuil d'environ 3,4 × 10^-3 à 440 Hz : un danseur sans formation musicale percevrait lui aussi la différence.

Partie 3 : l'origine du désaccord

Les deux ont raison. La fréquence émise ne dépend que de la source : Alice a bien joué des La3 à 440 Hz. La fréquence perçue dépend aussi du mouvement relatif : en s'éloignant du piano, Kilian a reçu ces notes vers 436 Hz, un écart réellement audible.

Les pièges à éviter

Le piège principal est le signe dans la formule de Doppler : avec un « moins » au dénominateur, on trouverait environ 444 Hz, un son plus aigu, ce qui correspondrait à un danseur qui se rapproche du piano. Autre erreur : lire la longueur le long de la courbe au lieu de l'abscisse pour la distance horizontale, ou se tromper de ligne dans le tableau des fréquences (le La vaut 220 Hz à l'octave 2). Enfin, calculer Δf/f avec la valeur arrondie 436 Hz fait perdre des chiffres significatifs : mieux vaut passer par l'expression littérale.

Nos conseils

Avant tout calcul Doppler, décide si le récepteur s'approche ou s'éloigne et prévois le sens du décalage : un son plus grave si la distance augmente, plus aigu si elle diminue. Ce contrôle rapide évite la mauvaise formule. Pour la question de synthèse, reprends les résultats des parties précédentes et rédige une conclusion qui donne raison aux deux personnages en expliquant pourquoi.