Mission Rosetta : mécanique céleste et transmission d'images au bac S

Ce premier exercice, noté sur 6 points et prévu pour environ une heure, suit la mission Rosetta et son atterrisseur Philae jusqu'à la comète Tchouri. Il se divise en deux parties bien distinctes : la partie A mobilise les lois de Kepler, la loi de gravitation et le mouvement uniforme ; la partie B porte sur le signal envoyé vers la Terre et sur les images numériques prises par la caméra NavCam. Les calculs sont nombreux mais courts, et presque tous les pièges tiennent aux conversions d'unités.

Partie A : les trois lois de Kepler

La première question demande de placer le Soleil : d'après la loi des orbites, il occupe l'un des foyers de l'ellipse, sur le grand axe, décalé du centre du côté du périhélie. Écrire qu'il est au centre est l'erreur attendue. Le demi-grand axe se déduit ensuite des distances extrêmes du document : 187 et 851 millions de kilomètres, soit a = 519 millions de km, c'est-à-dire 5,19 × 10¹¹ m.

La loi des aires sert à comparer les vitesses en A et en B. Les deux aires hachurées étant balayées pendant la même durée, l'arc parcouru près du Soleil est plus long : la comète va plus vite en B, le point le plus proche du Soleil. La troisième loi permet enfin de retrouver la période, T = 2,03 × 10⁸ s, soit environ 6,44 ans, en accord avec le document. Le demi-grand axe doit impérativement être exprimé en mètres, et il ne faut pas oublier le cube sous la racine.

Gravitation à la surface de la comète

L'expression de la force exercée par la comète sur Philae utilise le rayon de la comète comme distance entre les centres. En égalant cette force au poids, on obtient une intensité de pesanteur g_C = 1,1 × 10^-4 N·kg^-1, qui ne dépend pas de la masse de Philae. La conversion de 10 milliards de tonnes en 10¹³ kg est le passage le plus délicat.

La question suivante, très formatrice, demande de corriger la phrase « Philae pèse 100 kg sur Terre et 1 g sur la comète ». Elle confond masse et poids : la masse reste de 100 kg partout, tandis que le poids passe d'environ 1,0 × 10³ N sur Terre à 1,1 × 10^-2 N sur la comète, autant qu'un objet de 1 g sur Terre. La partie A se termine par une estimation : à vitesse constante, la descente de 20 km dure environ 5,7 h.

Partie B : signal et image numérique

Le signal traverse le vide : c'est une onde électromagnétique, du domaine radio à 8,4 GHz. Avec une distance de 510 millions de km, la durée de propagation vaut 1,70 × 10³ s, soit environ 28 minutes, comme annoncé. Garder la distance en kilomètres donnerait une durée mille fois trop petite.

Viennent ensuite les questions sur la photographie : un pixel couvre 7,2 m sur la comète, donc un détail de 1 m n'est pas visible. L'échelle de l'image permet de retrouver des dimensions proches de celles du document. La taille numérique vaut 1 048 576 octets, soit environ 1,05 × 10³ ko ; à 12 kbit/s, la transmission dure 7,0 × 10² s, à condition de convertir les octets en bits. La mémoire de 25 Go contient environ 2,4 × 10⁴ photographies.

Conseils pour réussir

Avant chaque application numérique, vérifiez que toutes les grandeurs sont en unités SI, et gardez un nombre de chiffres significatifs cohérent avec les données. Les notions d'image numérique et de débit binaire ne figurent plus au programme actuel de spécialité, mais la partie A reste un excellent entraînement sur les lois de Kepler et la gravitation.