Les tirs au but : un pénalty en équations

Le premier exercice du bac S Antilles-Guyane 2015, noté sur 6 points et prévu pour environ une heure, transforme un pénalty en problème de mécanique. Le ballon, frappé depuis le point de pénalty avec une vitesse initiale de 11,5 m/s sous un angle de 55° par rapport à l'horizontale, doit franchir la ligne de but sous la barre transversale, placée à 2,44 m. L'exercice combine la deuxième loi de Newton, les équations horaires d'un mouvement dans le champ de pesanteur uniforme et l'étude énergétique du tir. C'est un grand classique, toujours au cœur du programme actuel de terminale.

Partie 1 : poser la situation

La question 1.1 demande un schéma dans un repère (Ox, Oz) avec le vecteur vitesse initiale, l'angle α, la hauteur h des buts et la distance d = 11,0 m. Le piège le plus fréquent consiste à placer l'angle entre le vecteur vitesse et la verticale, alors que l'énoncé le mesure à partir de l'horizontale. La question 1.2 traduit ensuite la réussite du tir en conditions sur les coordonnées du point A où le ballon franchit la ligne : x_A = d et 0 < z_A < h. Le tir étant dirigé vers le centre du but, seule la hauteur reste à contrôler.

Partie 2 : deuxième loi de Newton et trajectoire

La question 2.1 attend la démarche complète : système, référentiel terrestre supposé galiléen, bilan des forces réduit au poids, puis deuxième loi de Newton. On obtient une accélération égale au champ de pesanteur, indépendante de la masse du ballon. Chaque étape de cette rédaction rapporte des points, même si le résultat est connu d'avance.

La question 2.2 est le cœur calculatoire. Deux primitives successives donnent les coordonnées de la vitesse, puis les équations horaires x(t) = v₀ cos α · t et z(t) = −½ g t² + v₀ sin α · t, chaque constante étant fixée par la condition initiale correspondante. En éliminant le temps, on retrouve l'équation de la trajectoire fournie. Les erreurs classiques sont l'oubli du signe moins de a_z, l'axe vertical étant orienté vers le haut, et l'échange du cosinus et du sinus dans les coordonnées de la vitesse initiale.

À la question 2.3, l'équation de la trajectoire donne l'altitude du ballon sur la ligne de but : z_A = 2,1 m, inférieure à 2,44 m. Le pénalty est réussi, avec une marge d'environ 0,3 m. Attention au mode de la calculatrice : en radians, le résultat devient absurde.

Partie 3 : l'étude énergétique

La question 3.1 demande les expressions des énergies cinétique, potentielle de pesanteur et mécanique, puis l'association de chaque courbe du document 1 à une énergie. La courbe qui part de zéro est l'énergie potentielle, la droite horizontale l'énergie mécanique, et la courbe en cuvette l'énergie cinétique, qui vaut 41,0 J au départ. Au sommet, l'énergie cinétique ne s'annule pas, puisque la vitesse horizontale reste constante.

La question 3.2 exploite les lectures graphiques en x = 11,0 m : environ 13 J d'énergie potentielle et 28 J d'énergie cinétique, d'où h_A = 2,1 m et v_A = 9,5 m/s. Il faut penser à convertir la masse de 620 g en kilogrammes. Enfin, la question 3.3 utilise la conservation de l'énergie mécanique pour retrouver v_A = 9,5 m/s par le calcul : les deux méthodes concordent, ce qui valide le modèle sans frottement.

Conseils pour réussir cet exercice

Rédige systématiquement les quatre étapes de la deuxième loi de Newton, garde les expressions littérales jusqu'au bout et ne remplace les valeurs numériques qu'à la fin. Soigne les chiffres significatifs : un angle donné avec deux chiffres et une lecture graphique au joule près imposent des résultats à deux chiffres. Enfin, conclus toujours par une phrase qui répond à la question posée, ici la réussite du pénalty.