Un peu de balistique : la fusée éclairante et le recul du pistolet

Cet exercice de 8 points, prévu pour environ 1 h 20, est le plus lourd du sujet du bac S 2014 en Amérique du Sud. Il étudie une fusée éclairante tirée par un pistolet de détresse, avec une vitesse initiale de 50 m/s inclinée de 55° sur l'horizontale, depuis une hauteur de 1,8 m. La première partie est un problème classique de mouvement dans un champ de pesanteur uniforme ; la seconde fait intervenir la quantité de mouvement et la conservation pour un système isolé, notion de l'ancien programme.

Questions 1.1 et 1.2 : du champ de pesanteur à l'accélération

On commence par représenter le vecteur champ de pesanteur, vertical et vers le bas, et l'allure de la trajectoire : un arc de parabole tangent à la vitesse initiale. L'erreur fréquente est de faire partir la courbe de l'origine O, alors que la fusée quitte le pistolet à la hauteur h. Vient ensuite la deuxième loi de Newton, à énoncer avec précision : système, référentiel terrestre supposé galiléen, bilan des forces réduit au poids. On obtient a = g, d'où a_x = 0 et a_y = -g. Attention au signe : l'axe Oy est orienté vers le haut.

Question 1.3 : les équations horaires

Deux intégrations successives donnent d'abord les coordonnées de la vitesse, puis celles de la position. À chaque étape, une constante apparaît et se détermine par une condition initiale : la vitesse à t = 0, puis la position à t = 0. Le piège classique consiste à oublier la constante h dans y(t), ce qui revient à faire partir la fusée du sol.

Questions 1.4 et 1.5 : durée du vol et altitudes d'éclairage

La durée du vol s'obtient en résolvant y(t) = 0, une équation du second degré. Le discriminant est positif, on garde la seule racine positive : t_vol = 8,4 s. Vérifiez que la calculatrice est en mode degrés avant de calculer sin 55°. On calcule ensuite l'altitude à l'allumage, 1,0 s après le tir, soit 38 m, puis à l'extinction. Le piège est de prendre t = 6 s : les 6 secondes d'éclairage se comptent depuis l'allumage, donc l'extinction a lieu à t = 7 s, vers 48 m. La fusée éclaire donc à plusieurs dizaines de mètres du sol et s'éteint avant de retomber, ce qui convient à la signalisation.

Partie 2 : la quantité de mouvement et le recul

Avant le tir, la fusée et le pistolet sont immobiles : la quantité de mouvement totale est nulle. Si le système est isolé, elle se conserve pendant l'éjection, ce qui donne la vitesse de recul v_p = -(m_f/m_p) v₀. Le signe moins traduit le recul en sens opposé. Avec m_f = 58 g et m_p = 0,98 kg, le modèle prévoit 3,0 m/s : pensez à exprimer les deux masses dans la même unité. La dernière question demande pourquoi la vitesse réelle est bien plus faible : le système n'est pas isolé, la main du tireur exerce une force extérieure qui s'oppose au recul.

Conseils pour réussir

Rédigez soigneusement la loi de Newton, car l'énoncé demande de l'énoncer. Gardez les valeurs exactes en mémoire et n'arrondissez qu'à la fin, avec deux chiffres significatifs. Enfin, relisez chaque résultat avec du bon sens physique : une durée de vol de quelques secondes et un recul de quelques mètres par seconde sont des ordres de grandeur cohérents.