Un ressort pour comprendre la spectroscopie infrarouge

Le premier exercice du Bac S 2013 Antilles-Guyane rattrapage vaut 4 points, soit environ 40 minutes. Il part d'un oscillateur mécanique très simple, un solide accroché à un ressort, puis applique le même modèle à la liaison O–H de la molécule d'eau. L'objectif final est de retrouver par le calcul la position d'une bande d'absorption infrarouge. L'exercice est court mais très progressif : chaque question réutilise le résultat de la précédente.

Proportionnalité ou simple croissance (question 1.1)

Deux grandeurs sont proportionnelles si la courbe de l'une en fonction de l'autre est une droite passant par l'origine. La courbe de la période propre en fonction de la masse passe par l'origine mais elle est incurvée, et le tableau le confirme : quand la masse double de 50 g à 100 g, la période passe de 0,20 s à 0,28 s seulement. La courbe en fonction de la raideur est décroissante et incurvée. La période n'est donc proportionnelle ni à m ni à k. Le piège est de confondre « croissante » et « proportionnelle ».

Trouver la bonne expression par élimination (question 1.2)

La figure 3 montre que la période est proportionnelle à l'inverse de la racine carrée de k, ce qui écarte deux des quatre expressions. La figure 1 indique que la période augmente avec la masse, ce qui écarte l'expression en racine de 1/(m×k). Il reste T₀ = 2π√(m/k), confirmée par une ligne du tableau : avec 0,200 kg et 50 N/m, on retrouve 0,40 s. Attention à exprimer la masse en kilogrammes.

Masse réduite de la liaison O–H (questions 2.1 et 2.2)

La relation du document 4 s'applique avec les masses d'un atome d'oxygène et d'un atome d'hydrogène. On remplace ensuite chaque masse atomique par M/N_A pour obtenir l'expression demandée, puis on calcule une masse réduite de 1,6 × 10⁻²⁴ g, soit 1,6 × 10⁻²⁷ kg. La conversion en kilogrammes est indispensable pour la suite : les masses molaires sont en g/mol. La valeur obtenue est proche de la masse d'un atome d'hydrogène, c'est surtout lui qui vibre.

Fréquence propre puis longueur d'onde (questions 2.3 et 2.4)

La fréquence propre est l'inverse de la période : avec k = 7,2 × 10² N/m et la masse réduite non arrondie, on trouve 1,08 × 10¹⁴ Hz, soit la valeur attendue de 1,1 × 10¹⁴ Hz. Laisser la masse en grammes conduit à un résultat faux d'un facteur √1000. La longueur d'onde dans le vide vaut alors c/f₀ = 2,8 µm. Elle est très proche des modes d'élongation du document 5, à 2,74 µm et 2,66 µm, et loin du mode de déformation à 6,27 µm : il s'agit d'une vibration d'élongation, ce qui est cohérent avec un ressort qui s'allonge et se raccourcit.

Conseils pour réussir

Travaillez document par document et citez la figure utilisée dans chaque justification. Gardez les valeurs non arrondies en mémoire de la calculatrice entre les questions 2.2, 2.3 et 2.4, et vérifiez systématiquement les unités : la quasi-totalité des erreurs de cet exercice vient d'une masse laissée en grammes. Enfin, pensez à relier le résultat au spectre : une longueur d'onde de 2,8 µm correspond à un nombre d'onde voisin de 3,6 × 10³ cm⁻¹, dans la zone des liaisons O–H.