Acoustique d'une salle : analyse du corrigé

Cet exercice de 5 points part d'une observation simple : derrière un pilier de salle de concert, un élève perçoit mieux les sons graves que les sons aigus. Pour l'expliquer, le sujet passe d'abord par une expérience de diffraction de la lumière avec un laser, puis transpose le résultat aux ondes sonores. C'est un bel exemple de raisonnement par analogie entre deux types d'ondes.

Questions 1 à 3 : la tache centrale de diffraction

La première question demande d'établir L = 2λD/a. Dans le triangle rectangle du schéma, le côté opposé à θ est la demi-largeur L/2 et le côté adjacent est D, d'où tan θ = L/(2D). L'angle étant petit, tan θ = θ, et l'on égalise avec θ = λ/a. Le piège classique est d'écrire tan θ = L/D : le facteur 2 vient du fait que θ est repéré depuis l'axe.

Pour montrer que L = k × 1/a, deux arguments sont nécessaires : les points sont alignés et la droite passe par l'origine. Sans le second, la relation serait seulement affine. L'identification avec la question 1 donne ensuite k = 2λD.

Question 4 : la longueur d'onde du laser

On lit un point de la droite moyenne : pour 1/a = 0,020 × 10⁶ m^-1, L = 0,052 m. Le coefficient directeur vaut 2,6 × 10^-6 m², puis λ = k/(2D) = 6,5 × 10^-7 m avec D = 2,00 m. Attention au facteur 10⁶ porté sur l'axe horizontal : l'oublier fausse complètement le résultat.

Questions 5 et 6 : comparer deux fentes

Pour la fente de 150 µm, θ₂ = λ/a₂ = 4,3 × 10^-3 rad, à condition d'exprimer λ et a₂ dans la même unité. Comme θ₁ = 1,7 × 10^-2 rad est environ quatre fois plus grand, la diffraction est la plus marquée pour la fente a₁, la plus étroite. À longueur d'onde fixée, plus l'ouverture est petite, plus l'onde s'étale.

Questions 7 et 8 : longueurs d'onde des sons

La relation λ = V_son/f découle de λ = V_son × T. Avec V_son = 340 m·s^-1, on obtient 1,70 m pour le son de 200 Hz et 0,340 m pour celui de 1,00 kHz. Pensez à convertir les kilohertz en hertz et à écrire les zéros significatifs.

Question 9 : la position de l'élève

Le pilier, large d'environ 0,70 m, diffracte le son comme une fente. Pour une même largeur, l'angle θ = λ/a augmente avec la longueur d'onde : les graves, de longueur d'onde supérieure à la largeur du pilier, s'étalent largement, alors que les aigus restent proches de l'axe. En A, devant le pilier, tout arrive directement ; en B, sur l'axe, graves et aigus parviennent ; en C, à l'écart, seuls les graves très diffractés arrivent. L'élève était donc en C.

Pièges et conseils

La justification attendue tient en une chaîne logique : son grave, donc grande longueur d'onde, donc grand angle de diffraction, donc son perçu loin de l'axe. Rédigez-la explicitement. Plus généralement, vérifiez systématiquement les unités (micromètres, kilohertz, puissances de dix sur les axes) et limitez le nombre de chiffres significatifs à la précision de la lecture graphique.