Galileo : ondes, lancement et orbite d'un satellite de navigation

Cet exercice de 6 points, prévu pour environ une heure, ouvre le sujet du bac S 2015 en Asie. Il suit un satellite du système européen Galileo, de ses signaux radio jusqu'à son orbite à 23 522 km d'altitude. Trois parties s'enchaînent : les ondes émises, un modèle de lancement construit par des élèves, puis la mécanique de l'orbite avec les lois de Kepler. C'est un bon tour d'horizon de la mécanique de terminale, avec une part d'analyse de documents.

Partie 1 : les signaux et la précision de l'horloge

La question 1.1 demande le domaine des trois signaux. L'axe du document étant gradué en longueur d'onde, on calcule λ = c/f en convertissant les mégahertz en hertz. Les longueurs d'onde, comprises entre 19,0 cm et 25,2 cm, placent les signaux dans le domaine des ultra hautes fréquences (UHF). Calculer les deux valeurs extrêmes suffit. La question 1.2 est documentaire : Galileo atténue les « canyons urbains » grâce à son nombre de satellites (30, contre 29 pour Glonass et 24 pour le GPS) et à ses trois bandes de fréquence. Il faut appuyer chaque critère sur les chiffres du tableau. En 1.3, une erreur de 1,0 m sur la distance correspond à une durée τ = d/c = 3,3 × 10⁻⁹ s : seule une horloge atomique mesure le temps à quelques nanosecondes près.

Partie 2 : un modèle de lancement à corriger

La deuxième loi de Newton, projetée sur un axe vertical orienté vers le haut, donne a = F/M − g. Les élèves avaient écrit un signe « + » devant g, comme si le poids aidait la fusée à monter. Le piège de la question 2.1 est de ne corriger que l'accélération : l'équation horaire z(t) = ½(F/M − g)t² doit être réécrite aussi. La question 2.2 en déduit la durée de mise en orbite, environ 4 × 10³ s, à condition de convertir la masse de 310 t en kilogrammes et l'altitude en mètres. La question 2.3 demande un regard critique : masse, pesanteur et poussée ne sont pas constantes, les frottements de l'air sont négligés et la trajectoire réelle n'est pas verticale. Reprendre les hypothèses une à une est la méthode la plus sûre.

Partie 3 : les lois de Kepler

La loi des aires (3.1) s'énonce avec un schéma où la Terre occupe un foyer de l'ellipse, et non son centre. En 3.2, sur une orbite circulaire, des aires égales correspondent à des arcs de même longueur : la vitesse est constante, le mouvement est uniforme. Attention à ne pas confondre valeur de la vitesse et vecteur vitesse. La troisième loi de Kepler permet ensuite de comparer les périodes (3.3) : plus l'altitude est grande, plus la période est longue, donc Galileo tourne plus lentement que le GPS et Glonass. Le calcul de la question 3.4, avec le rayon de l'orbite R_T + h exprimé en mètres, donne T = 5,14 × 10⁴ s, soit environ 14 h 17 min.

Pièges et conseils

La plupart des points perdus viennent des conversions : mégahertz, tonnes, kilomètres. Utiliser l'altitude à la place du rayon de l'orbite est l'autre erreur classique de la partie 3. Soignez aussi les chiffres significatifs, qui suivent la donnée la moins précise. Enfin, pour les questions sur documents, citez toujours la valeur qui justifie votre affirmation.