Un service au tennis : chute libre, trajectoire et énergie

Cet exercice de mécanique de 5,5 points, prévu pour environ 1 h 05, fait partie de l'épreuve du bac S 2009 d'Amérique du Sud. Un joueur frappe la balle horizontalement à 2,20 m du sol avec une vitesse de 126 km·h^-1, et l'on cherche si le service est bon. C'est une application très classique de la deuxième loi de Newton au mouvement dans un champ de pesanteur, complétée par une approche énergétique. L'exercice est un excellent entraînement à la méthode complète : bilan des forces, accélération, équations horaires, trajectoire.

Partie 1 : équations horaires et trajectoire

Le bilan des forces se réduit au poids, puisque l'action de l'air est négligée : P = mg = 0,569 N pour une balle de 58,0 g. Le piège est d'ajouter la force de la raquette, qui n'agit plus une fois la balle partie de D. La deuxième loi de Newton donne alors une accélération égale à g, verticale et dirigée vers le bas.

Pour établir les équations horaires, on intègre deux fois en fixant les constantes avec les conditions initiales : vitesse horizontale v₀ et départ au point D d'altitude H. On obtient x(t) = v₀t, y(t) = -gt²/2 + H et z(t) = 0. Cette dernière équation montre que le mouvement est plan, dans le plan vertical xOy qui contient la vitesse initiale et g. En éliminant le temps, on trouve l'équation de la trajectoire, un arc de parabole.

Partie 2 : qualité du service

Après conversion de la vitesse en m·s^-1 (35,0 m·s^-1), on calcule l'altitude de la balle au-dessus du filet, situé à 12,2 m : 1,60 m, nettement plus que les 0,920 m du filet. Oublier la conversion conduit à une valeur fausse proche de 2,15 m. On cherche ensuite le point de chute B' en résolvant y = 0 : OB' = 23,4 m, bien au-delà de OB = 18,7 m. Selon ce modèle, le service est mauvais. La question 2.3 explique l'écart avec la réalité : l'action de l'air, négligée, freine la balle et raccourcit la trajectoire.

Partie 3 : énergie de la balle

La variation d'énergie potentielle de pesanteur entre la frappe et le sol vaut -mgH = -1,25 J ; le signe négatif traduit une perte d'énergie potentielle. On écrit ensuite les expressions de l'énergie cinétique en D et de l'énergie mécanique en D et en B'. Comme la balle n'est soumise qu'à son poids, force conservative, l'énergie mécanique se conserve, et il faut le justifier explicitement. On en déduit la vitesse à l'arrivée au sol, v_B' = 35,6 m·s^-1, soit environ 128 km·h^-1. Le résultat ne dépend pas de la masse de la balle.

Conseils pour réussir cet exercice

Précisez toujours le système et le référentiel, convertissez les vitesses dès le début et écrivez les conditions initiales avant d'intégrer. Dans la partie énergétique, nommez la force conservative qui justifie la conservation. Le corrigé détaillé présente chaque étape comme sur une copie et trace la trajectoire calculée avec le filet et le point de chute.