Ce que demande cet exercice

Cet exercice introductif, tiré de la session de préparation au concours, évalue votre compréhension fine de la nature des différents nombres réels. On vous présente un tableau contenant huit écritures numériques variées. Ces expressions prennent la forme de nombres décimaux, de fractions simples ou impropres, de nombres entiers, ainsi que d'une somme d'un entier et d'une fraction décimale. Dans la première partie, il vous est demandé de comparer ces différentes écritures pour les classer avec précision en respectant un ordre croissant strict.

La seconde partie de l'exercice vous plonge dans une situation de tirage aléatoire simple. On considère que vous choisissez l'un des huit nombres présentés dans le tableau précédent, et ce de manière équiprobable. Vous devez alors déterminer deux probabilités distinctes : d'abord celle d'obtenir un nombre appartenant à l'ensemble des entiers naturels ou relatifs, puis celle de sélectionner une écriture appartenant strictement à l'ensemble des nombres décimaux. Il s'agit d'une évaluation classique de vos connaissances arithmétiques fondamentales qui nécessite de la rigueur d'analyse.

Les notions a maitriser

• La nature et la classification des ensembles de nombres, notamment la distinction rigoureuse entre les entiers, les nombres décimaux et les nombres rationnels.
• Les différentes représentations d'un même nombre, qu'il s'agisse d'une écriture fractionnaire, d'une écriture décimale ou de la somme d'un entier et d'une fraction.
• Les techniques de comparaison et de rangement des fractions et des nombres à virgule pour établir un ordre croissant sans erreur d'appréciation.
• Le vocabulaire et le calcul des probabilités dans une situation d'équiprobabilité élémentaire, en sachant modéliser une expérience aléatoire à une épreuve.

Methode et pieges

Afin de mener à bien le classement demandé dans la première question, la méthode la plus sûre consiste à convertir mentalement ou sur votre brouillon toutes les écritures sous un format commun qui facilitera la comparaison. Le passage à l'écriture décimale, qu'elle soit approchée ou exacte, est souvent le choix le plus pertinent. Prenez garde aux fractions qui ne tombent pas juste, car elles peuvent facilement induire une erreur de jugement lors du rangement. Ne confondez pas une valeur approchée avec la valeur exacte d'un nombre rationnel, cela constitue le piège classique de ce type de question et du concours. Une fois toutes les valeurs bien estimées, assurez-vous de rédiger votre réponse finale en utilisant les écritures originelles fournies par l'énoncé, et non vos conversions intermédiaires, tout en employant le symbole mathématique adéquat pour signifier que les termes sont strictement inférieurs les uns aux autres.

Concernant la partie dédiée aux probabilités, la situation d'équiprobabilité posée par l'énoncé vous permet d'utiliser la formule classique consistant à diviser le nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues possibles. Le véritable enjeu ici ne réside pas dans le calcul probabiliste, qui demeure très abordable, mais bien dans la reconnaissance des ensembles de nombres. Un nombre entier ou un nombre décimal peut très bien se cacher derrière une écriture fractionnaire. Ne vous arrêtez surtout pas à la forme visuelle de l'expression. Il est impératif d'évaluer et de simplifier chaque fraction au maximum pour vérifier si le quotient correspond à un nombre entier ou si la division finit par s'arrêter, ce qui caractérise un nombre décimal. Restez très vigilants face aux écritures qui semblent décimales mais qui représentent en réalité des rationnels non décimaux.