Ce que demande cet exercice

Ce problème du concours 2018 se décompose en trois grandes parties indépendantes axées sur l'aménagement paysager. La première partie, dédiée à la géométrie plane, étudie une méthode de construction élaborée par un mathématicien. L'objectif global est de transformer un espace rectangulaire en une aire carrée de surface équivalente. Le travail commence par l'application d'une échelle pour tracer un plan. Vous devez ensuite exécuter un protocole de construction incluant des demi-cercles, avant de démontrer algébriquement que l'aire du carré ainsi bâti reste toujours identique à celle du rectangle, et ce, quelles que soient les dimensions initiales choisies.

La deuxième partie s'oriente vers la lecture graphique et l'analyse de fonctions. Vous observez le jet d'eau d'une fontaine, modélisé par la courbe d'une parabole. Après avoir extrait des coordonnées essentielles depuis le graphique, vous basculez dans une démarche algébrique pour retrouver les paramètres précis de la fonction du second degré définissant cette trajectoire. Enfin, la troisième partie mobilise activement vos connaissances en arithmétique. Vous devez optimiser la plantation d'arbustes sur tout le périmètre du terrain. Cela implique de déterminer des espacements entiers réguliers en explorant méthodiquement les diviseurs communs des dimensions de l'aire, tout en respectant une condition stricte sur les nombres premiers.

Les notions a maitriser

• Proportionnalité et échelles : appliquer rigoureusement un coefficient de réduction pour concevoir un plan détaillé, en maîtrisant parfaitement les conversions d'unités de longueur.
• Géométrie et calcul littéral : suivre un protocole de tracé complexe, exprimer des aires à l'aide de variables et mener à bien une démonstration algébrique.
• Fonctions du second degré : lier l'aspect visuel d'une parabole à son expression mathématique, puis savoir exploiter habilement la forme développée et la forme canonique.
• Arithmétique élémentaire : rechercher les diviseurs communs à deux nombres entiers et identifier les nombres premiers pour résoudre un problème concret de répartition spatiale.

Methode et pieges

Pour aborder la première partie sereinement, il est conseillé de réaliser une figure à main levée au brouillon afin de mieux visualiser l'agencement complexe des segments. Lors des calculs liés à l'échelle, la plus grande prudence est requise concernant vos unités de mesure : convertissez de préférence toutes vos données en centimètres pour éviter les erreurs d'ordre de grandeur. Lorsque vous rédigez la démonstration finale, expliquez très clairement le choix de vos variables et détaillez chaque étape de votre développement algébrique. Le jury évalue la clarté de votre argumentation autant que la justesse mathématique de votre conclusion.

Dans la seconde partie, la phase de lecture graphique demande une grande précision visuelle. Repérez bien les intersections de la courbe avec les axes de coordonnées, car elles constituent la clé pour déterminer les coefficients inconnus de la fonction. Le travail algébrique sur la parabole nécessite une bonne aisance calculatoire : développez vos expressions prudemment en surveillant attentivement les signes négatifs. Enfin, en arithmétique, la difficulté majeure réside dans la bonne modélisation du problème. Comprenez qu'imposer un arbuste à chaque coin signifie que la distance d'espacement divise exactement la longueur mais aussi la largeur du terrain. Dressez la liste des diviseurs communs de manière exhaustive, puis appliquez la contrainte spécifique sur les nombres premiers pour sélectionner l'espacement adéquat et calculer le total d'arbustes nécessaires.