Ce que demande cet exercice
Dans le cadre de l'épreuve de mathématiques du CRPE, cet exercice vous propose de modéliser une situation concrète à l'aide de l'outil algébrique. Vous êtes confronté au problème d'un batelier qui effectue un trajet aller-retour sur une rivière, avec des conditions de navigation différentes à la descente et à la remontée. Le texte vous donne la distance totale du parcours et introduit une variable littérale représentant le nombre de jours nécessaires pour effectuer la première phase de ce trajet.
Votre premier travail consiste à traduire les données de l'énoncé en expressions mathématiques. Il vous faut exprimer les distances parcourues quotidiennement lors des deux phases de la navigation en fonction de cette variable temporelle. Ensuite, l'exercice vous guide pas à pas vers l'établissement d'une égalité liant ces différentes grandeurs cinématiques. À partir de cette relation fractionnaire, diverses manipulations algébriques vous permettront d'aboutir à une équation de second degré. Enfin, il vous est demandé de résoudre cette équation pour trouver la valeur numérique de l'inconnue et de redonner du sens à ce résultat dans le contexte initial du voyage du batelier.
Les notions a maitriser
- La traduction algébrique d'un énoncé textuel : pour réussir cette épreuve, vous devez avant tout être capable de lire attentivement un texte en français pour en extraire les relations mathématiques, afin de les formuler rigoureusement à l'aide de lettres et de symboles opératoires.
- Le calcul littéral et les écritures fractionnaires : une parfaite maîtrise des opérations sur les expressions algébriques contenant des variables au dénominateur est une compétence indispensable pour transformer l'égalité initiale en une forme équivalente plus simple à exploiter.
- La résolution d'équations polynomiales : vous devez savoir manipuler avec aisance une équation pour isoler une expression spécifique, et ici, déterminer la solution d'une équation du second degré sans nécessairement recourir aux formules complexes si des remarques arithmétiques simples s'appliquent.
- L'interprétation de résultats dans leur contexte : le jury du concours évalue votre capacité à ne pas rester confiné au calcul abstrait pur, en exigeant un retour clair à la situation de départ pour expliquer la signification concrète de votre solution numérique.
Methode et pieges
La difficulté principale réside dans la première étape de modélisation. Prenez le temps de définir précisément chaque élément. Identifiez clairement que la distance quotidienne correspond mathématiquement au rapport entre la distance totale parcourue et le nombre de jours employés. Faites très attention aux expressions textuelles impliquant un retrait kilométrique ou un ajout de durée : une erreur classique des candidats consiste à inverser les signes ou à se tromper de terme lors de la traduction algébrique des comparaisons de l'énoncé.
Lors de la démonstration de l'égalité fractionnaire à la deuxième question, ne brûlez surtout pas les étapes. Partez impérativement des expressions établies à la question précédente et appliquez rigoureusement les règles imposées par l'énoncé. Pour passer à l'équation demandée ensuite, pensez à réduire vos expressions au même dénominateur, ce qui simplifiera grandement votre calcul littéral. Enfin, gardez à l'esprit que l'inconnue représente un nombre de jours réels : toute solution mathématique négative devra être rigoureusement écartée avec une justification claire et rédigée sur votre copie d'examen.