Ce que demande cette question

La question 16 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2009 vous confronte à l'étude classique d'une fonction irrationnelle. L'énoncé vous présente une fonction définie par la racine carrée d'un quotient. À partir de cette unique expression algébrique, vous devez évaluer la véracité de quatre affirmations distinctes qui balayent plusieurs aspects fondamentaux de l'analyse de fonctions en classe de terminale.

Dans un premier temps, il vous est demandé de déterminer l'ensemble de définition exact de cette fonction. Cela implique de poser les bonnes conditions d'existence, à la fois pour le dénominateur du quotient et pour l'expression située sous la racine carrée. Ensuite, vous devez analyser le comportement asymptotique de la courbe représentative, plus précisément en vérifiant si une droite d'équation donnée constitue une asymptote verticale lorsque la variable s'approche d'une valeur interdite. La troisième affirmation vous invite à calculer la limite de la fonction lorsque la variable tend vers l'infini, ce qui nécessite de lever une éventuelle forme indéterminée sur le quotient avant de composer avec la racine. Enfin, la dernière proposition interroge votre compréhension globale des propriétés de la fonction racine carrée en vous demandant de statuer sur le signe de la fonction sur l'intégralité de son domaine de définition.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question avec sérénité et éviter les erreurs d'inattention, vous devez maîtriser les concepts mathématiques suivants :

• Le domaine de définition : savoir résoudre une inéquation quotient à l'aide d'un tableau de signes rigoureux pour garantir que l'expression sous la racine est positive ou nulle, tout en excluant la valeur qui annule le dénominateur.
• Le calcul de limites et les asymptotes : être capable de déterminer la limite d'une fonction rationnelle en l'infini en factorisant par le terme de plus haut degré, puis composer cette limite avec la fonction racine carrée. Il faut également savoir interpréter géométriquement une limite infinie en un point fini pour valider la présence d'une asymptote verticale.
• Les propriétés de la racine carrée : se rappeler que, par définition, la fonction racine carrée est à valeurs positives ou nulles sur son ensemble de définition.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

L'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS est réputée pour ses pièges subtils et sa gestion du temps exigeante. Face à une étude de fonction, la méthode la plus sûre consiste à dresser rapidement un tableau de signes au brouillon. Une erreur fréquente des candidats sur ce type d'énoncé est d'exclure à tort des valeurs où la fonction s'annule, confondant ainsi une inégalité stricte avec une inégalité large lors de la recherche du domaine de définition. Soyez extrêmement vigilant sur l'ouverture et la fermeture des crochets dans les intervalles proposés.

Concernant le calcul des limites, prenez garde aux conclusions hâtives. Une lecture trop rapide de l'expression pourrait vous faire croire à une limite infinie alors que le quotient sous la racine tend vers une constante finie. Prenez le temps de décomposer chaque étape de votre calcul de limite de fonction composée.

Enfin, gardez toujours à l'esprit les spécificités du barème de ce concours. Le système de notation pénalise lourdement les réponses fausses. En effet, une erreur coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si vous avez un doute persistant sur l'ouverture d'un crochet pour le domaine de définition ou sur le résultat d'une limite, il est souvent préférable de ne pas cocher l'affirmation plutôt que de risquer de perdre de précieux points accumulés sur les autres propositions de la question.