Ce que demande cette question
La question 10 de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2010 vous confronte à l'étude approfondie d'une fonction rationnelle dépendant de deux paramètres réels, notés a et b. L'expression de cette fonction se présente sous la forme d'un quotient dont le numérateur est un polynôme de degré deux et le dénominateur un polynôme de degré un. L'objectif principal de cet exercice classique est d'évaluer votre capacité à adapter votre raisonnement mathématique en fonction des valeurs spécifiques attribuées à ces paramètres, tout en mobilisant vos connaissances fondamentales sur l'analyse globale des fonctions.
L'énoncé vous propose quatre affirmations indépendantes qu'il faut rigoureusement juger vraies ou fausses. La première affirmation vous demande de vérifier si une droite d'équation donnée correspond à l'asymptote oblique de la courbe représentative lorsque le premier paramètre vaut un. La deuxième affirmation vous interroge sur l'existence éventuelle d'une asymptote horizontale pour cette famille de courbes, ce qui nécessite une réflexion sur le calcul des limites à l'infini. La troisième affirmation fait appel à la notion de dérivation : vous devez déterminer si la tangente à la courbe en un point d'abscisse précis possède le même coefficient directeur qu'une droite sécante définie par deux points de coordonnées connues. Enfin, la dernière affirmation exige d'étudier la position relative de la courbe par rapport à son asymptote au voisinage de l'infini positif, en fixant les deux paramètres à des valeurs précises.
Les notions à maîtriser
- Recherche d'asymptotes : vous devez savoir déterminer les limites aux bornes du domaine de définition et identifier les asymptotes obliques, horizontales ou verticales d'une fonction rationnelle.
- Dérivation d'un quotient : il est absolument indispensable de maîtriser la formule de dérivation de la forme u sur v pour calculer la fonction dérivée sans commettre d'erreur de signe.
- Équation de la tangente : vous devez être capable de faire le lien direct entre la valeur du nombre dérivé en un point et le coefficient directeur de la tangente à la courbe.
- Position relative d'une courbe : il faut savoir étudier le signe de la différence entre l'expression de la fonction et l'équation de son asymptote pour conclure sur leurs positions respectives.
Méthode et pièges au concours ACCÈS
L'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS possède un système de notation très spécifique qu'il faut impérativement garder à l'esprit le jour de l'examen. Pour chaque question, vous faites face à quatre affirmations. Une mauvaise réponse est lourdement pénalisée, car une erreur vous fait perdre plus de points qu'une simple absence de réponse. Il est donc fondamental de ne jamais cocher une case au hasard. Si vous parvenez à démontrer la véracité ou la fausseté de trois affirmations sur quatre, mais que la dernière vous pose un véritable problème, il est souvent beaucoup plus stratégique de s'abstenir sur celle-ci pour sécuriser votre score.
Dans ce type d'exercice portant sur les fonctions paramétrées, le piège le plus classique réside dans les erreurs de calcul algébrique de base. Lors de la recherche de l'asymptote oblique, prenez le temps d'effectuer une division polynomiale rigoureuse ou d'utiliser la méthode d'identification des coefficients. Une simple erreur de signe lors de votre développement vous conduira inévitablement à une mauvaise conclusion. De la même manière, lors du calcul de la dérivée pour trouver la pente de la tangente, prenez le soin d'écrire toutes les étapes intermédiaires au brouillon. Le stress de l'épreuve pousse souvent les candidats à faire du calcul mental, ce qui reste la principale cause d'échec sur ces questions. Restez concentré sur votre méthode de résolution.