Ce que demande cette question

La question 11 de l'épreuve de raisonnement logique et mathématique du concours ACCÈS 2012 vous confronte à une étude de fonction classique mais complète. L'énoncé vous présente une fonction définie sur l'intervalle ouvert allant de cinq à l'infini, composée d'une partie affine et d'une fraction rationnelle. À partir de cette unique expression, vous devez évaluer la véracité de quatre affirmations distinctes qui balayent une grande partie du programme d'analyse de terminale.

Dans un premier temps, il vous est demandé de manipuler l'expression algébrique de la fonction pour la réduire au même dénominateur. Cette étape de transformation est purement calculatoire mais exige une grande rigueur avec les signes. Ensuite, vous devez dériver la fonction initiale. L'objectif est de vérifier si l'expression de la dérivée proposée correspond bien à l'application correcte des formules de dérivation usuelles. La troisième affirmation déplace le problème sur le terrain géométrique et asymptotique. Vous devez déterminer si une droite d'équation donnée constitue une asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction lorsque la variable tend vers l'infini. Enfin, la dernière proposition vous invite à vérifier une primitive de la fonction, ce qui implique de maîtriser le lien entre l'intégration des fonctions rationnelles simples et la fonction logarithme népérien.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question sereinement, vous devez être parfaitement à l'aise avec les concepts suivants :

• Le calcul algébrique : savoir mettre une expression au même dénominateur, développer, réduire et factoriser sans commettre d'erreur de signe.
• La dérivation : connaître sur le bout des doigts les dérivées des fonctions usuelles, et particulièrement la formule de dérivation de l'inverse d'une fonction affine.
• Les asymptotes obliques : comprendre la définition mathématique d'une asymptote et savoir calculer la limite de la différence entre la fonction et l'équation de la droite proposée.
• Le calcul de primitives : identifier les formes reconnaissables, notamment la forme dérivée sur fonction qui conduit naturellement à l'utilisation du logarithme népérien, tout en respectant le domaine de définition.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS est une épreuve de rapidité et de précision. Face à une question d'analyse comme celle-ci, la méthode la plus sûre consiste à traiter chaque affirmation indépendamment, en commençant par celles qui vous semblent les plus évidentes. Par exemple, la vérification de l'asymptote oblique peut souvent se faire de tête par une simple lecture de l'énoncé, ce qui vous permet de gagner un temps précieux.

Prenez garde aux pièges classiques de calcul. Lors de la mise au même dénominateur, l'oubli d'une parenthèse ou une erreur de signe devant une fraction est vite arrivé et faussera votre jugement sur la première affirmation. De même, pour la dérivation et la recherche de primitives, restez très attentif aux coefficients multiplicateurs et aux signes négatifs qui s'annulent ou s'additionnent.

Enfin, gardez toujours à l'esprit la spécificité du barème de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS. Une bonne réponse vous rapporte des points, mais une mauvaise réponse entraîne des pénalités. Une absence de réponse ne vous rapporte ni ne vous coûte de points. Par conséquent, si vous butez sur le calcul de la primitive ou si vous avez un doute persistant sur un signe dans votre dérivée, il est stratégiquement préférable de ne pas cocher la case plutôt que de risquer de perdre les points durement acquis sur les autres affirmations. La gestion du risque est tout aussi importante que vos compétences mathématiques pour réussir ce concours.