Ce que demande cette question

La question 7 de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS 2014 vous confronte à l'étude classique d'une fonction rationnelle. L'énoncé définit une fonction f par un quotient de polynômes, dont le numérateur est au carré et le dénominateur de degré un. À travers quatre affirmations indépendantes mais complémentaires, vous devez mener une analyse rigoureuse de cette fonction et de sa courbe représentative. La première affirmation vous invite à vérifier une décomposition de la fonction sous la forme d'une somme d'une fonction affine et d'une fraction simple. Cette étape algébrique est cruciale car elle conditionne souvent la suite de l'exercice. Ensuite, les affirmations suivantes portent sur l'étude asymptotique de la courbe. Vous devez déterminer si la valeur interdite génère bien une asymptote verticale, puis vérifier l'existence et l'équation d'une asymptote oblique aux bornes de l'ensemble de définition. Enfin, la dernière proposition vous demande d'étudier la position relative de la courbe représentative par rapport à une droite donnée, ce qui implique l'étude du signe d'une différence sur l'ensemble de définition épointé.

Les notions à maîtriser

• Décomposition d'une fraction rationnelle : savoir identifier les coefficients d'une forme éclatée en réduisant au même dénominateur ou par division euclidienne des polynômes.
• Calcul de limites et asymptotes verticales : maîtriser le comportement d'un quotient lorsque le dénominateur s'annule, et en déduire l'existence d'une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées.
• Asymptotes obliques : être capable de démontrer qu'une droite est asymptote en calculant la limite de la différence entre la fonction et l'équation de la droite en l'infini.
• Position relative de deux courbes : savoir dresser un tableau de signes rigoureux pour la différence de deux expressions algébriques afin de situer géométriquement la courbe par rapport à son asymptote.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Pour aborder sereinement ce type de question au concours ACCÈS, la rigueur algébrique est votre meilleure alliée. Le premier piège classique réside dans le développement du numérateur : une simple erreur d'identité remarquable ou de signe lors de l'identification des coefficients faussera votre jugement sur la première affirmation. Prenez l'habitude de partir de l'expression proposée dans l'affirmation et de la réduire au même dénominateur pour retrouver l'expression initiale, c'est souvent plus rapide et moins sujet aux erreurs de calcul. Concernant les asymptotes, soyez extrêmement vigilant sur les limites à gauche et à droite de la valeur interdite, même si l'affirmation ne précise pas le côté. L'étude de la position relative exige un tableau de signes systématique ; ne répondez jamais de manière intuitive.

N'oubliez pas la spécificité du barème de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS. Chaque question comporte quatre affirmations qui peuvent être vraies ou fausses. Une erreur coûte plus cher qu'une absence de réponse en raison des points négatifs attribués aux mauvaises réponses. Si vous hésitez sur le signe d'une différence ou sur une limite complexe, il est stratégiquement préférable de laisser la case vide plutôt que de risquer de perdre les points accumulés sur les affirmations dont vous êtes certain. Gérez votre temps de brouillon avec efficacité pour sécuriser votre score.