Ce que demande cette question

La quinzième et dernière question de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2022 vous plonge dans un problème concret d'optimisation et de modélisation algébrique. Vous êtes confronté à une situation agricole où un exploitant, Monsieur Dupont, cultive deux types de plantations : des tomates et des tournesols. L'énoncé introduit formellement la notion de fonction numérique à deux variables réelles, notées ici pour représenter les quantités de plants initiaux.

Le cœur du problème réside dans la traduction d'un texte dense en expressions mathématiques rigoureuses. Vous disposez d'une longue liste de paramètres financiers et techniques. Il faut prendre en compte les rendements de production en litres, les prix de vente respectifs, les coûts d'achat des plants, ainsi que les frais d'entretien. De plus, l'énoncé ajoute des subtilités cruciales comme un coût d'engrais proportionnel au produit des deux variables, des coûts fixes indépendants de la production, et surtout des taux de mortalité spécifiques à chaque type de culture.

Les quatre affirmations vous demandent de valider pas à pas les modèles mathématiques de cette exploitation. L'affirmation A vous interroge sur l'expression exacte du coût total en fonction des plants initiaux. L'affirmation B se concentre sur le chiffre d'affaires, nécessitant d'intégrer la perte due aux maladies. L'affirmation C vous demande de déduire le bénéfice total. Enfin, l'affirmation D vous impose de poser une hypothèse d'égalité entre les deux types de plants pour résoudre une inéquation du second degré et déterminer une plage de rentabilité.

Les notions à maîtriser

• Modélisation de fonctions à deux variables : Savoir construire une expression algébrique complexe à partir de données textuelles multiples.
• Calculs de pourcentages et de pertes : Appliquer correctement les taux de mortalité pour distinguer les plants achetés des plants réellement productifs.
• Comptabilité analytique de base : Maîtriser la relation fondamentale liant le bénéfice, le chiffre d'affaires (ou prix total des ventes) et les coûts totaux.
• Résolution d'inéquations du second degré : Être capable de simplifier une expression lorsque les variables sont égales, puis d'étudier le signe d'un trinôme pour trouver un seuil de rentabilité.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Ce type de problème long est un classique de la fin de l'épreuve du concours ACCÈS. La principale difficulté réside dans la gestion de l'information. Il est impératif de lire l'énoncé avec un stylo à la main, en classant immédiatement les données en deux colonnes : ce qui relève des coûts (achats, entretien, engrais, charges fixes) et ce qui relève des recettes (ventes après production).

Le piège le plus redoutable de cette question se cache dans la chronologie des événements agricoles. Les coûts d'achat et d'entretien s'appliquent à tous les plants mis en terre au début de la saison. En revanche, les recettes ne proviennent que des plants qui ont survécu aux maladies. Si vous oubliez d'appliquer la baisse de pourcentage sur les quantités avant de multiplier par le rendement et le prix de vente, vos fonctions seront inévitablement fausses.

Face à une telle densité de calculs, la rigueur est votre meilleure alliée. Prenez le temps de vérifier chaque terme de vos polynômes. N'oubliez pas les règles spécifiques du concours ACCÈS : chaque question comporte quatre affirmations indépendantes qui peuvent être vraies ou fausses. Le barème pénalise lourdement les erreurs. Une mauvaise réponse vous fera perdre des points, tandis qu'une absence de réponse n'en enlève aucun. Si, lors de l'évaluation de la dernière inéquation, le temps vous manque ou le doute s'installe, il est souvent plus stratégique de s'abstenir plutôt que de cocher au hasard et de risquer de détruire le bénéfice de vos calculs précédents.