Ce que demande cette question

Dans cette sixième question de l'épreuve de mathématiques du concours ACCÈS 2019, vous êtes confronté à l'étude d'une fonction numérique comportant des termes exponentiels. L'énoncé définit une fonction sur un intervalle semi-ouvert et propose quatre affirmations à évaluer avec rigueur.

La première affirmation demande de calculer l'image d'une valeur précise, impliquant un logarithme népérien négatif. Il s'agit de substituer cette valeur et de simplifier le résultat. La deuxième affirmation se concentre sur la fonction dérivée. Vous devrez dériver l'expression initiale puis factoriser le résultat pour le comparer à la proposition. La troisième affirmation interroge sur le sens de variation sur l'intervalle des réels négatifs. En utilisant le signe de la dérivée, vous déterminerez si la fonction est strictement décroissante. Enfin, la dernière affirmation aborde la recherche de tangentes ayant une pente spécifique. Vous poserez une équation impliquant le nombre dérivé et utiliserez un changement de variable pour vérifier le nombre de solutions.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question sereinement, vous devez être parfaitement à l'aise avec plusieurs concepts fondamentaux du programme d'analyse :

• Les propriétés algébriques de l'exponentielle et du logarithme : savoir simplifier des expressions de la forme exponentielle de logarithme, en prêtant une attention particulière aux signes négatifs et aux coefficients multiplicateurs.
• Le calcul de dérivées : maîtriser la dérivation des fonctions composées, notamment la dérivée de l'exponentielle de deux fois la variable, ainsi que la dérivation des termes polynomiaux associés.
• Le lien entre dérivée et variations : être capable d'étudier le signe d'une expression factorisée comportant des exponentielles pour en déduire les variations de la fonction sur un intervalle donné.
• L'équation de la tangente : se rappeler que la pente de la tangente à la courbe représentative en un point d'abscisse donnée est exactement égale à la valeur du nombre dérivé en ce point.
• Le changement de variable : savoir transformer une équation transcendante en une équation du second degré classique en posant une nouvelle variable, puis vérifier que les solutions trouvées appartiennent au bon ensemble de définition.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS possède un format particulier à intégrer dans votre stratégie. Vous devez indiquer pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse. Gardez à l'esprit le barème : une mauvaise réponse entraîne des pénalités, tandis qu'une abstention ne retire aucun point. Une erreur coûte plus cher qu'une absence de réponse. Si vous doutez de votre calcul, abstenez-vous plutôt que de répondre au hasard.

Pour cette question spécifique sur la fonction exponentielle, les pièges sont nombreux. Lors du calcul de l'image dans la première affirmation, l'erreur classique consiste à mal gérer le signe moins devant le logarithme lors du passage à l'exponentielle. Prenez le temps d'écrire chaque étape de simplification au brouillon. Pour la dérivée, le piège réside dans l'oubli du coefficient lors de la dérivation du terme en exponentielle de deux fois la variable. Ensuite, lors de l'étude du signe, n'oubliez pas que la fonction exponentielle est toujours strictement positive, ce qui simplifie grandement l'analyse des facteurs.

Enfin, concernant la recherche des tangentes, la confusion fréquente est de résoudre l'équation où la fonction s'annule au lieu de chercher les points où la dérivée vaut la pente souhaitée. Le changement de variable vous mènera à un polynôme du second degré, mais attention : une solution mathématique pour la nouvelle variable ne donne une solution réelle pour l'abscisse que si elle est strictement positive. Restez concentré sur les conditions d'existence tout au long de votre raisonnement pour éviter ces chausse-trapes classiques de l'épreuve.