Ce que demande cette question

Dans cette onzième question de l'épreuve de raisonnement logique et mathématiques du concours ACCÈS 2016, vous êtes confronté à l'étude complète d'une fonction faisant intervenir la fonction exponentielle. L'énoncé vous donne l'expression d'une fonction définie sur l'ensemble des réels, combinant des termes en exponentielle de x et en exponentielle de -x, ainsi qu'une constante. À partir de cette définition, vous devez évaluer quatre affirmations distinctes qui balayent une grande partie du programme d'analyse du lycée. La première affirmation vous demande de calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative en un point précis dont l'abscisse est un logarithme népérien. La deuxième affirmation vous interroge sur le nombre de solutions de l'équation pour laquelle la fonction s'annule, ce qui nécessite d'étudier les variations globales ou d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires. La troisième affirmation porte sur la convexité de la fonction et la recherche d'un éventuel point d'inflexion, en l'occurrence le point de coordonnées données dans l'énoncé. Enfin, la dernière affirmation vous demande de calculer une intégrale définie sur l'intervalle allant de zéro à un, afin de vérifier si le résultat correspond à la valeur fractionnaire proposée.

Les notions à maîtriser

• Calcul de la dérivée première d'une fonction composée avec des exponentielles et gestion des signes.
• Évaluation d'une expression contenant des exponentielles et des logarithmes népériens, notamment la simplification des termes.
• Étude de la dérivée seconde pour déterminer la convexité d'une courbe et identifier rigoureusement les points d'inflexion.
• Détermination des primitives usuelles pour le calcul exact d'une intégrale définie sur un intervalle fermé.
• Utilisation du théorème de la bijection ou de l'étude des variations pour dénombrer les racines d'une équation.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS est réputé pour sa gestion du temps très serrée et son système de notation spécifique. Pour cette épreuve de raisonnement logique et mathématiques, vous disposez de deux heures pour traiter quinze questions, chacune comportant quatre affirmations. Il est crucial de se rappeler que le barème pénalise lourdement les erreurs : une mauvaise réponse vous fera perdre plus de points qu'une absence de réponse. Il est donc impératif de ne pas répondre au hasard. Face à une question d'analyse comme celle-ci, la méthode la plus sûre consiste à mener les calculs de manière ordonnée sur votre brouillon avant de vous prononcer. Prenez garde aux erreurs de signe lors de la dérivation de l'exponentielle de -x, c'est un piège classique dans lequel de nombreux candidats tombent chaque année. De même, lors du calcul de l'intégrale, soyez extrêmement rigoureux dans l'évaluation des bornes et la mise au même dénominateur. L'utilisation du logarithme népérien dans les calculs nécessite de bien connaître la relation fondamentale liant la fonction exponentielle et la fonction logarithme. Si vous bloquez sur le calcul de la dérivée seconde pour le point d'inflexion, passez à l'affirmation suivante. La stratégie optimale au concours ACCÈS consiste à sécuriser les points sur les affirmations dont vous êtes absolument certain, et à laisser en blanc celles qui vous demandent des calculs trop longs ou incertains.