Ce que demande cette question

La question 7 de l'épreuve de raisonnement logique et mathématique du concours ACCÈS 2019 vous confronte à l'étude classique d'une fonction faisant intervenir le logarithme népérien. L'énoncé définit une fonction sur l'intervalle des réels strictement positifs, composée d'un quotient impliquant une expression logarithmique au numérateur et la variable indépendante au dénominateur. À partir de cette définition, vous devez évaluer la véracité de quatre affirmations distinctes qui balaient une grande partie du programme d'analyse.

La première affirmation vous demande de déterminer la position du point d'intersection entre la courbe représentative de la fonction et l'axe des abscisses. Il s'agit de résoudre une équation pour trouver la racine exacte, puis de vérifier si cette valeur appartient à l'intervalle proposé. La deuxième proposition se concentre sur les variations. Vous êtes invité à chercher l'existence d'un maximum global et à calculer sa valeur exacte, ce qui implique de dériver la fonction. La troisième affirmation porte sur le calcul intégral. On vous propose une expression censée être la primitive de la fonction initiale s'annulant en un point précis. Enfin, la dernière affirmation vous interroge sur le comportement asymptotique de la courbe, en particulier la présence et l'unicité d'une asymptote verticale.

Les notions à maîtriser

Pour aborder cette question avec sérénité, il est indispensable de posséder de solides bases en analyse. Voici les concepts clés que vous devez impérativement maîtriser :

• La dérivation des fonctions quotients : savoir appliquer la formule usuelle de dérivation tout en manipulant correctement la dérivée du logarithme népérien.
• La résolution d'équations logarithmiques : être capable d'isoler la variable dans une équation pour trouver des points d'intersection précis.
• Le calcul de primitives : reconnaître la forme dérivée d'une fonction composée, ou savoir dériver la primitive proposée pour vérifier sa validité.
• L'étude des limites et des asymptotes : connaître les limites de référence du logarithme népérien pour en déduire l'existence d'asymptotes.

Méthode et pièges au concours ACCÈS

Le concours ACCÈS présente des spécificités qu'il faut toujours garder à l'esprit. La gestion du temps et la prise de risque sont des éléments déterminants pour réussir l'épreuve de mathématiques. Rappelez-vous constamment le système de notation : une erreur est lourdement pénalisée et vous fait perdre des points, tandis qu'une absence de réponse ne modifie pas votre score. Il est donc préférable de laisser une affirmation sans réponse plutôt que de cocher au hasard si vous n'êtes pas certain de votre raisonnement.

Face à une question d'analyse comme celle-ci, la méthode la plus sûre pour l'affirmation concernant la primitive n'est pas de chercher à intégrer la fonction initiale. Il est beaucoup plus stratégique et rapide de dériver la fonction proposée dans l'énoncé pour vérifier si l'on retombe bien sur l'expression de départ. N'oubliez pas de vérifier la condition d'annulation, un piège classique où la constante d'intégration est fausse.

Concernant l'étude des variations, prenez le temps de bien poser votre tableau de signes. Une erreur de signe faussera la position du maximum et sa valeur. Enfin, lisez attentivement chaque mot. L'utilisation du terme unique pour l'asymptote doit vous inciter à la prudence. Restez méthodique et ne validez une affirmation que lorsque chaque étape est justifiée.